Question

【题目】如图，已知∠MON=120°，点A，B分别在OM，ON上，且OA=OB=，将射线OM绕点O逆时针旋转得到OM′，旋转角为α（且），作点A关于直线OM′的对称点C，画直线BC交于OM′与点D，连接AC，AD．有下列结论：

有下列结论：

①∠BDO + ∠ACD = 90°；

②∠ACB 的大小不会随着的变化而变化；

③当 时，四边形OADC为正方形；

④面积的最大值为．

其中正确的是________________．(把你认为正确结论的序号都填上）

Answer 1

【答案】①②④

【解析】

①根据对称的性质：对称点的连线被对称轴垂直平分可得：OM′是AC的垂直平分线，即可作判断；
②作⊙O，根据四点共圆的性质得：∠ACD＝∠E＝60°，说明∠ACB是定值，不会随着α的变化而变化；
③当α＝30°时，即∠AOD＝∠COD＝30°，证明△AOC是等边三角形和△ACD是等边三角形，得OC＝OA＝AD＝CD，可作判断；
④先证明△ACD是等边三角形，当AC最大时，△ACD的面积最大，当AC为直径时最大，根据面积公式计算后可作判断．

解：①∵A、C关于直线O M′对称，
∴O M′是AC的垂直平分线，

∴∠BDO + ∠ACD = 90°，故①正确；
②连接OC，
由①知：O M′是AC的垂直平分线，
∴OC＝OA，
∴OA＝OB＝OC，
以O为圆心，以OA为半径作⊙O，交AO的延长线于E，连接BE，则A、B、C、E都在⊙O上，
∵∠MON＝120°，

∴∠E＝∠MON =60°，
∵A、C、B、E四点共圆，
∴∠ACB＝180°-∠E＝120°，故②正确；

③当α＝30°时，即∠AOD＝∠COD＝30°，
∴∠AOC＝60°，

∵OA=OC，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠OAC＝60°，OC＝OA＝AC，
由①得：CD＝AD，

由②可知，∠ACB=120°，

∴∠ACD=60°，
∴∠CAD＝∠ACD＝∠CDA＝60°，
∴△ACD是等边三角形，
∴AC＝AD＝CD，
∴OC＝OA＝AD＝CD，
∴四边形OADC为菱形；故③不正确；
④∵CD＝AD，∠ACD＝60°，
∴△ACD是等边三角形，
当AC最大时，△ACD的面积最大，
∵AC是⊙O的弦，当时，AC为直径时最大，此时AC＝2a，
S△ACD＝，故④正确，
所以本题结论正确的有：①②④，
故答案为：①②④．