Question

【题目】如图，在△ABC中，AB＝AC，E，F分别是BC，AC的中点，以AC为斜边作Rt△ADC，若∠CAD＝∠BAC＝45°，则下列结论：①CD∥EF；②EF＝DF；③DE平分∠CDF；④∠DEC＝30°；⑤AB＝CD；其中正确的是_____（填序号）

Answer 1

【答案】①②③⑤

【解析】

根据三角形中位线定理得到EF＝AB，EF∥AB，根据直角三角形的性质得到DF＝AC，根据三角形内角和定理、勾股定理计算即可判断．

∵E，F分别是BC，AC的中点，

∴EF＝AB，EF∥AB，

∵∠ADC＝90°，∠CAD＝45°，

∴∠ACD＝45°，

∴∠BAC＝∠ACD，

∴AB∥CD，

∴EF∥CD，故①正确；

∵∠ADC＝90°，F是AC的中点，

∴DF＝CF=AC，

∵AB=AC，EF＝AB，

∴EF＝DF，故②正确；

∵∠CAD=∠ACD=45°，点F是AC中点，

∴△ACD是等腰直角三角形，DF⊥AC，∠FDC=45°，

∴∠DFC=90°，

∵EF//AB，

∴∠EFC=∠BAC=45°，∠FEC=∠B=67.5°，

∴∠EFD=∠EFC+∠DFC=135°，

∴∠FED＝∠FDE＝22.5°，

∵∠FDC＝45°，

∴∠CDE=∠FDC-∠FDE=22.5°，

∴∠FDE=∠CDE，

∴DE平分∠FDC，故③正确；

∵AB＝AC，∠CAB＝45°，

∴∠B＝∠ACB＝67.5°，

∴∠DEC＝∠FEC﹣∠FED＝45°，故④错误；

∵△ACD是等腰直角三角形，

∴AC2=2CD2，

∴AC=CD，

∵AB=AC，

∴AB＝CD，故⑤正确；

故答案为：①②③⑤．