【题目】如图,在等腰Rt△ABC中,∠ACB=90o,AC=CB,F是AB边上的中点,点D、E分别在AC、BC边上运动,且始终保持AD=CE,连接DE、DF、EF.
(1)求证:△ADF≌△CEF;
(2)试证明△DFE是等腰直角三角形.
【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析.
【解析】
试题分析:(1)根据在等腰直角△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,利用F是AB中点,∠A=∠FCE=∠ACF=45°,即可证明:△ADF≌△CEF.
(2)利用△ADF≌△CEF,∠AFD+∠DFC=∠CFE+∠DFC,和∠AFC=90°即可证明△DFE是等腰直角三角形.
试题解析:(1)在等腰直角△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,
∴∠A=∠B=45°,
又∵F是AB中点,
∴∠ACF=∠FCB=45°,
即,∠A=∠FCE=∠ACF=45°,且AF=CF,
在△ADF与△CEF中,
,
∴△ADF≌△CEF;
(2)由(1)可知△ADF≌△CEF,
∴DF=FE,
∴△DFE是等腰三角形,
又∵∠AFD=∠CFE,
∴∠AFD+∠DFC=∠CFE+∠DFC,
∴∠AFC=∠DFE,
∵∠AFC=90°,
∴∠DFE=90°,
∴△DFE是等腰直角三角形.
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【题目】工人师傅做铝合金窗框分下面三个步骤进行:
(1)先截出两对符合规格的铝合金窗料(如图①),使AB=CD,EF=GH;
(2)摆放成如图②的四边形,则这时窗框的形状是______形,根据的数学原理是:_______________________;
(3)将直角尺靠紧窗框的一个角(如图③),调整窗框的边框,当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时(如图④),说明窗框合格,这时窗框是_______形,根据的数学原理是:_____________________.
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【题目】甲、乙两人进行摸牌游戏.现有三张形状大小完全相同的牌,正面分别标有数字2,3,5.将三张牌背面朝上,洗匀后放在桌子上.
(1)甲从中随机抽取一张牌,记录数字后放回洗匀,乙再随机抽取一张.请用列表法或画树状图的方法,求两人抽取相同数字的概率;
(2)若两人抽取的数字和为2的倍数,则甲获胜;若抽取的数字和为5的倍数,则乙获胜.这个游戏公平吗?请用概率的知识加以解释.
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【题目】如图,AB为⊙O的直径,EF切⊙O于点D,过点B作BH⊥EF于点H,交⊙O于点C,连接BD.
(1)求证:BD平分∠ABH;
(2)如果AB=12,BC=8,求圆心O到BC的距离.
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【题目】计算:
(1)(-2xy)(3x2-2xy-4y2);
(2)(-m2n-mn+1)·(-6m3n);
(3)(-3x2y)2·(-4xy2-5y3-6x+1).
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【题目】如图,抛物线y= x2+ x+c与x轴的负半轴交于点A,与y轴交于点B,连结AB,点C(6, )在抛物线上,直线AC与y轴交于点D.
(1)求c的值及直线AC的函数表达式;
(2)点P在x轴正半轴上,点Q在y轴正半轴上,连结PQ与直线AC交于点M,连结MO并延长交AB于点N,若M为PQ的中点.
①求证:△APM∽△AON;
②设点M的横坐标为m,求AN的长(用含m的代数式表示).
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【题目】如图,四边形ABCD是平行四边形,AD=AC,AD⊥AC,E是AB的中点,F是AC延长线上一点.
(1)若ED⊥EF,求证:ED=EF;
(2)在(1)的条件下,若DC的延长线与FB交于点P,试判定四边形ACPE是否为平行四边形?并证明你的结论(请先补全图形,再解答);
(3)若ED=EF,ED与EF垂直吗?若垂直给出证明.
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【题目】如图,某市有一块长为(3a+b)米,宽为(2a+b)米的长方形地块,中间是边长为(a+b)米的正方形,规划部门计划将在中间的正方形修建一座雕像,四周的阴影部分进行绿化,
(1)绿化的面积是多少平方米?(用含字母a、b的式子表示)
(2)求出当a=20,b=12时的绿化面积.
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