【题目】如图,抛物线y= x2+ x+c与x轴的负半轴交于点A,与y轴交于点B,连结AB,点C(6, )在抛物线上,直线AC与y轴交于点D.
(1)求c的值及直线AC的函数表达式;
(2)点P在x轴正半轴上,点Q在y轴正半轴上,连结PQ与直线AC交于点M,连结MO并延长交AB于点N,若M为PQ的中点.
①求证:△APM∽△AON;
②设点M的横坐标为m,求AN的长(用含m的代数式表示).
【答案】
(1) 解:把C点坐标代入抛物线解析式可得 , 解得c=﹣3,∴抛物线解析式为 , 令y=0可得 ,解得x=﹣4或x=3,∴A(﹣4,0),设直线AC的函数表达式 为y=kx+b(k≠0),把A、C坐标代入可得: ,解得: ,∴直线AC的函数表达式为
(2) 解:①∵在Rt△AOB中,tan∠OAB= = ,在RtAOD中,tan ∠OAD= = ,∴∠OAB=∠OAD,∵在Rt△POQ中,M为PQ的中点,∴OM=MP,∴∠MOP=∠MPO,且∠MOP=∠AON,∴∠APM=∠AON,∴△APM∽△AON;
②如图,过点M作ME⊥x轴于点E,
则OE=EP,∵点M的横坐标为m,∴AE=m+4,AP=2m+4,∵tan∠OAD= ,∴co s∠EAM=cos∠OAD= ,∴ = ,∴AM= AE= , ∵△APM∽△AON,∴ , 即 ,∴AN=
【解析】(1)把C点坐标代入抛物线解析式,求出抛物线解析式,得到点A的坐标,把A、C坐标代入,求出直线AC的函数表达式;(2)根据解直角三角形,得到∠OAB=∠OAD,再由已知条件得到△APM∽△AON;得出比例,求出AN的值.
【考点精析】通过灵活运用相似三角形的判定与性质和解直角三角形,掌握相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等)的比等于相似比;相似三角形周长的比等于相似比;相似三角形面积的比等于相似比的平方;解直角三角形的依据:①边的关系a2+b2=c2;②角的关系:A+B=90°;③边角关系:三角函数的定义.(注意:尽量避免使用中间数据和除法)即可以解答此题.
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【题目】如图,四边形ABCD中,E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点.
(1)判断四边形EFGH是何种特殊的四边形,并说明你的理由;
(2)要使四边形EFGH是菱形,四边形ABCD还应满足的一个条件是 .
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【题目】为了加强公民的节水意识,合理利用水资源,某市采用价格调控手段达到节水的目的.该市自来水收费价格见价目表.
若某户居民月份用水,则应收水费:元.
(1)若该户居民月份用水,则应收水费______元;
(2)若该户居民、月份共用水(月份用水量超过月份),共交水费元,则该户居民,月份各用水多少立方米?
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【题目】如图,在等腰Rt△ABC中,∠ACB=90o,AC=CB,F是AB边上的中点,点D、E分别在AC、BC边上运动,且始终保持AD=CE,连接DE、DF、EF.
(1)求证:△ADF≌△CEF;
(2)试证明△DFE是等腰直角三角形.
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【题目】如图,在□ABCD中,延长AB到点E,使BE=AB,连接DE交BC于点F,则下列结论不一定成立的是( )
A. ∠E=∠CDF B. BE=CD C. ∠ADE=∠BFE D. BE=2CF
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【题目】如图,四边形ABCD是平行四边形,顶点A、B的坐标分别是A(1,0),B(0,﹣2),顶点C、D在双曲线 上,边AD与y轴相交于点E, =10,则k的值是( )
A.-16
B.-9
C.-8
D.-12
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【题目】“中华人民共和国道路交通管理条例”规定:小汽车在城市街道上行驶速度不得超过70 km/h.如图,一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶,某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪正前方30 m处,过了2 s后,测得小汽车与车速检测仪间距离为50 m,这辆小汽车超速了吗?
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【题目】如图1,C是线段BE上一点,以BC、CE为边分别在BE的同侧作等边△ABC和等边△DCE,连结AE、BD.
(1)求证:BD=AE;
(2)如图2,若M、N分别是线段AE、BD上的点,且AM=BN,请判断△CMN的形状,并说明理由.
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