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【题目】如图1,二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴分别交于AB两点,与y轴交于点C.若tanABC=3,一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为﹣82

1)求二次函数的解析式;

2)直线l绕点AAB为起始位置顺时针旋转到AC位置停止,l与线段BC交于点DPAD的中点.

①求点P的运动路程;

②如图2,过点DDE垂直x轴于点E,作DFAC所在直线于点F,连结PEPF,在l运动过程中,∠EPF的大小是否改变?请说明理由;

3)在(2)的条件下,连结EF,求PEF周长的最小值.

【答案】1)二次函数的解析式为:y=x2+x6

2P的运动路程为②∠EPF的大小不会改变,理由见解析

3CPEF最小值为

【解析】试题分析:(1)由轴分别交于AB两点,且一元二次方程的两根为-82,可得点A、点B的坐标,即可得到OB的长,又由tanABC=3,得到点C0,-6),将 ABC的坐标代入二次函数中,即可得到二次函数解析式;

2如图6.1,当lAB位置时,P即为AB的中点H,当l运动到AC位置时,P即为AC的中点K,故P的运动路程为△ABC的中位线HK,在Rt△BOC中,由勾股定理得到BC的长,再由三角形中位线定理可得到HK的长,即P的运动路程;

②∠EPF的大小不会改变.由于,PRtAED斜边AD的中点,故PE=AD=PA,从而PAE=PEA=EPD,同理有PAF=PFA=DPF,即可得到EPF=2EAF,故EPF的大小不会改变;

3)设PEF的周长为C,则=PE+PF+EF=AD+EF,在等腰三角形PEF中,过PPGEF于点G,得到EPG=EPF=BAC,由于tanBAC=,故tanEPG=,得到EG=PEEF=PE=AD,从而有=AD+EF=AD=AD,又当ADBC时,AD最小,此时最小,由=30,得到AD=,从而得到最小值.

试题解析:(1函数的图象与轴分别交于AB两点,且一元二次方程的两根为-82A(-80)、B20),即OB=2,又tanABC=3OC=6,即C0,-6),将 A(-80)、B20)代入中,解得: 二次函数解析式为:

2如图6.1,当lAB位置时,P即为AB的中点H,当l运动到AC位置时,P即为AC的中点KP的运动路程为ABC的中位线HKHK=BC,在RtBOC中,OB=2OC=6BC=HK=,即P的运动路程为

②∠EPF的大小不会改变.理由如下:

DEABRtAED中,P为斜边AD的中点,PE=AD=PA∴∠PAE=PEA=EPD,同理可得:PAF=PFA=DPF∴∠EPF=EPD+FPD=2PAE+PAF),即EPF=2EAF,又∵∠EAF大小不变,∴∠EPF的大小不会改变;

3)设PEF的周长为C,则=PE+PF+EFPE=ADPF=AD=AD+EF,在等腰三角形PEF中,过PPGEF于点G∴∠EPG=EPF=BACtanBAC=tanEPG=EG=PEEF=PE=AD=AD+EF=AD=AD,又当ADBC时,AD最小,此时最小,=30BC·AD=30AD=最小值为: AD=

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