【题目】如图1,二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴分别交于A、B两点,与y轴交于点C.若tan∠ABC=3,一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为﹣8、2.
(1)求二次函数的解析式;
(2)直线l绕点A以AB为起始位置顺时针旋转到AC位置停止,l与线段BC交于点D,P是AD的中点.
①求点P的运动路程;
②如图2,过点D作DE垂直x轴于点E,作DF⊥AC所在直线于点F,连结PE、PF,在l运动过程中,∠EPF的大小是否改变?请说明理由;
(3)在(2)的条件下,连结EF,求△PEF周长的最小值.
【答案】(1)二次函数的解析式为:y=x2+x﹣6;
(2)①P的运动路程为;②∠EPF的大小不会改变,理由见解析;
(3)C△PEF最小值为.
【解析】试题分析:(1)由与轴分别交于A、B两点,且一元二次方程的两根为-8、2,可得点A、点B的坐标,即可得到OB的长,又由tan∠ABC=3,得到点C(0,-6),将 A、B、C的坐标代入二次函数中,即可得到二次函数解析式;
(2)①如图6.1,当l在AB位置时,P即为AB的中点H,当l运动到AC位置时,P即为AC的中点K,故P的运动路程为△ABC的中位线HK,在Rt△BOC中,由勾股定理得到BC的长,再由三角形中位线定理可得到HK的长,即P的运动路程;
②∠EPF的大小不会改变.由于,P为Rt△AED斜边AD的中点,故PE=AD=PA,从而∠PAE=∠PEA=∠EPD,同理有∠PAF=∠PFA=∠DPF,即可得到∠EPF=2∠EAF,故∠EPF的大小不会改变;
(3)设△PEF的周长为C,则=PE+PF+EF=AD+EF,在等腰三角形PEF中,过P作PG⊥EF于点G,得到∠EPG=∠EPF=∠BAC,由于tan∠BAC=,故tan∠EPG=,得到EG=PE,EF=PE=AD,从而有=AD+EF=AD=AD,又当AD⊥BC时,AD最小,此时最小,由=30,得到AD=,从而得到最小值.
试题解析:(1)∵函数的图象与轴分别交于A、B两点,且一元二次方程的两根为-8、2,∴A(-8,0)、B(2,0),即OB=2,又∵tan∠ABC=3,∴OC=6,即C(0,-6),将 A(-8,0)、B(2,0)代入中,解得: , ,∴二次函数解析式为: ;
(2)①如图6.1,当l在AB位置时,P即为AB的中点H,当l运动到AC位置时,P即为AC的中点K,∴P的运动路程为△ABC的中位线HK,∴HK=BC,在Rt△BOC中,OB=2,OC=6,∴BC=,∴HK=,即P的运动路程为;
②∠EPF的大小不会改变.理由如下:
∵DE⊥AB,∴在Rt△AED中,P为斜边AD的中点,∴PE=AD=PA,∴∠PAE=∠PEA=∠EPD,同理可得:∠PAF=∠PFA=∠DPF,∴∠EPF=∠EPD+∠FPD=2(∠PAE+∠PAF),即∠EPF=2∠EAF,又∵∠EAF大小不变,∴∠EPF的大小不会改变;
(3)设△PEF的周长为C,则=PE+PF+EF,∵PE=AD,PF=AD,∴=AD+EF,在等腰三角形PEF中,过P作PG⊥EF于点G,∴∠EPG=∠EPF=∠BAC,∵tan∠BAC=,∴tan∠EPG=,∴EG=PE,EF=PE=AD,∴=AD+EF=AD=AD,又当AD⊥BC时,AD最小,此时最小,∵=30,∴BC·AD=30,∴AD=,∴最小值为: AD=.
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【题目】如图,方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度.线段AB的端点A、B都在格点上,请你仅用无刻度的直尺完成下列作图.(保留必要的作图痕迹,不必写作法)
(1)在图①中以AB为边作一个正方形ABCD;
(2)在图②中以点A、点B为顶点作一个面积为12的菱形.
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【题目】如图,一艘海轮在A点时测得灯塔C在它的北偏东42°方向上,它沿正东方向航行80海里后到达B处,此时灯塔C在它的北偏西55°方向上.
(1)求海轮在航行过程中与灯塔C的最短距离(结果精确到0.1);
(2)求海轮在B处时与灯塔C的距离(结果保留整数).
(参考数据:sin55°≈0.819,cos55°≈0.574,tan55°≈1.428,tan42°≈0.900,tan35°≈0.700,tan48°≈1.111)
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【题目】如图,的对角线与相交于点E,点G为的中点,连接,的延长线交的延长线于点F,连接.
(1)求证:;
(2)若,,判断四边形的形状,并证明你的结论.
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【题目】如图,正方形ABCD和正方形OPEF中,边AD与边OP重合,,,点M、N分别在正方形ABCD的边BC、CD上,且.将正方形OPEF以每秒2个单位的速度向右平移,当点F与点B重合时,停止平移.设平移时间为t秒.
(1)请求出t的取值范围;
(2)猜想:正方形OPEF的平移过程中,OE与NM的位置关系.并说明理由.
(3)连结DE、BE.当的面积等于7时,试求出正方形OPEF的平移时间t的值.
备用图
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【题目】一袋中装有形状大小都相同的四个小球,每个小球上各标有一个数字,分别是1,4,7,8.现规定从袋中任取一个小球,对应的数字作为一个两位数的个位数;然后将小球放回袋中并搅拌均匀,再任取一个小球,对应的数字作为这个两位数的十位数.
(1)写出按上述规定得到所有可能的两位数;
(2)从这些两位数中任取一个,求其算术平方根大于4且小于7的概率.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,一次函数y=kx+b的图象经过点A(﹣2,6),且与x轴相交于点B,与y轴交于点D,与正比例函数y=3x的图象相交于点C,点C的横坐标为1.
(1)求k,b的值;
(2)请直接写出不等式kx+b﹣3x>0的解集;
(3)M为射线CB上一点,过点M作y轴的平行线交y=3x于点N,当MN=OD时,求M点的坐标.
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【题目】在一个不透明的袋中装有3个绿球,5个红球和若干白球,它们除颜色外其他都相同,将球搅匀,从中任意摸出一个球.
(1)若袋内有4个白球,从中任意摸出一个球,是绿球的概率为 ,是红球的概率为 ,是白球的概率为 .
(2)如果任意摸出一个球是绿球的概率是,求袋中有几个白球?
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【题目】如图,已知的三个顶点坐标为,,.
(1)将绕坐标原点逆时针旋转,画出对应图形,
(2)并写出点的对应点的坐标______;点关于原点对称的对应点坐标_______;
(3)请直接写出:以、、为顶点的平行四边形的第四个顶点的坐标______.
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