Question

15．阅读以下材料：对于三个数a，b，c，用M{a，b，c}表示这三个数的平均数，用min{a，b，c}表示这三个数中最小的数．例如：M{-1，2，3}=$\frac{-1+2+3}{3}$=$\frac{4}{3}$；min{-1，2，3}=-1；min{-1，2，a}=$\left\{\begin{array}{l}{a（a≤-1）}\\{-1（a＞-1）}\end{array}\right.$
解决下列问题：
（1）min{ sin30°，tan45°，cos30°}$\frac{1}{2}$若min{2，2x+2，4-2x}=2，则x的范围为0≤x≤1；
（2）①如果M{2，x+1，2x}=min{2，x+1，2x}，求x；
②根据①，你发现了结论“如果M{a，b，c}=min{a，b，c}，那么a=b=c（填a，b，c的大小关系）”．并证明你发现的结论；
③运用②的结论，填空：若M{2x+y+2，x+2y，2x-y}=min{2x+y+2，x+2y，2x-y}，则x+y=4．

Answer 1

分析 （1）因为用min（a，b，c）表示这三个数中最小的数，由min{2，2x+2，4-2x}=2，得出2x+2≥2，且4-2x≥2，两个式子同时成立，据此即可求得x的范围；
（2）①M{2，x+1，2x}=x+1，若M{2，x+1，2x}=min{2，x+1，2x}，则x+1是2、x+1、2x中最小的一个，即：x+1≤2且x+1≤2x，据此即可求得x的值；
②根据①可以得到结论：当三个数的平均数等于三个数中的最小的数，则这几个数相等，据此即可写出；
③根据结论，三个数相等，即可求得x，y的值，从而求得x+y的值；

解答 解：（1）min{ sin30°，tan45°，cos30°}=$\frac{1}{2}$；
由min{2，2x+2，4-2x}=2，得$\left\{\begin{array}{l}{2x+2≥2}\\{4-2x≥2}\end{array}\right.$，即0≤x≤1．

（2）①∵M{2，x+1，2x}=min{2，x+1，2x}，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x+1≤2x}\\{x+1≤2}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{x≥1}\\{x≤1}\end{array}\right.$，
∴x=1
②证明：由M{a，b，c}=min{a，b，c}，可令$\frac{a+b+c}{3}$，即b+c=2a⑤；
又∵$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a+b+c}{3}≤b}\\{\frac{a+b+c}{3}≤c}\end{array}\right.$，
解得：a+c≤2b ⑥，a+b≤2c⑦；
由⑤⑥可得c≤b；
由⑤⑦可得b≤c；
∴b=c；
将b=c代入⑤得c=a；
∴a=b=c．
③据②可得$\left\{\begin{array}{l}{2x+y+2=x+2y}\\{2x+y+2=2x-y}\end{array}\right.$，
解得y=-1，x=-3，
∴x+y=-4．

点评 本题考查一元一次不等式组的实际运用，解决的关键是读懂题意，根据题意结合方程和不等式去求解，综合运用知识解决问题．