Question

8．已知，在等边△ABC中，AB=2$\sqrt{3}$，D，E分别是AB，BC的中点（如图1）．若将△BDE绕点B逆时针旋转，得到△BD₁E₁，设旋转角为α（0°＜α＜180°），记射线CE₁与AD₁的交点为P．
（1）判断△BDE的形状；
（2）在图2中补全图形，
①猜想在旋转过程中，线段CE₁与AD₁的数量关系并证明；
②求∠APC的度数；
（3）点P到BC所在直线的距离的最大值为2．（直接填写结果）

Answer 1

分析 （1）由D，E分别是AB，BC的中点得到BE=$\frac{1}{2}$BC，BD=$\frac{1}{2}$BA，加上△ABC为等边三角形，则∠B=60°，BA=BC，所以BD=BE，于是可判断△BDE为等边三角形；
（2）①根据旋转的性质得△BD₁E₁为等边三角形，则BD₁=BE₁，∠D₁BE₁=60°，而∠ABC=60°，所以∠ABD₁=∠CBE₁，则路旋转的定义，△ABD₁可由△CBE₁绕点B逆时针旋转得到，然后根据旋转的性质得CE₁=AD₁；
②由于△ABD₁可由△CBE₁绕点B逆时针旋转得到∠BAD₁=∠BCE₁，然后根据三角形内角和定理和得∠APC=∠ABC=60°；、
（3）由于∠APC=∠D₁BE₁=60°，则可判断点P、D₁、B、E₁共圆，于是可判断当BP⊥BC时，点P到BC所在直线的距离的最大值，此时点E₁在AB上，然后利用含30度的直角三角形三边的关系可得点P到BC所在直线的距离的最大值．

解答 解：（1）∵D，E分别是AB，BC的中点，
∴BE=$\frac{1}{2}$BC，BD=$\frac{1}{2}$BA，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠B=60°，BA=BC，
∴BD=BE，
∴△BDE为等边三角形；
（2）①CE₁=AD₁．理由如下：
∵△BDE绕点B逆时针旋转，得到△BD₁E₁，
∴△BD₁E₁为等边三角形，
∴BD₁=BE₁，∠D₁BE₁=60°，
而∠ABC=60°，
∴∠ABD₁=∠CBE₁，
∴△ABD₁可由△CBE₁绕点B逆时针旋转得到，
∴CE₁=AD₁；
②∵△ABD₁可由△CBE₁绕点B逆时针旋转得到，
∴∠BAD₁=∠BCE₁，
∴∠APC=∠ABC=60°；
（3）∵∠APC=∠D₁BE₁=60°，
∴点P、D₁、B、E₁共圆，
∴当BP⊥BC时，点P到BC所在直线的距离的最大值，此时点E₁在AB上，
在Rt△PBC中，PB=$\frac{\sqrt{3}}{3}$AB=$\frac{\sqrt{3}}{3}$×2$\sqrt{3}$=2，
∴点P到BC所在直线的距离的最大值为2．
故答案为2．

点评 本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了等边三角形的性质．