Question

8．如图，已知在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y=$\frac{m}{x}$ （m≠0）的图象相交于A、B两点，且点B的纵坐标为-$\frac{1}{2}$，过点A作AC⊥x轴于点C，且AC=1，OC=2．求：
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求一次函数的解析式；
（3）连接AO、BO，求△ABO的面积．

Answer 1

分析 （1）首先由点的坐标的意义，得出点A的坐标，然后把点A的坐标代入反比例函数的解析式y=$\frac{m}{x}$，中，求出m的值，从而得出反比例函数的解析式；
（2）首先由点B在反比例函数y=$\frac{m}{x}$的图象上，可求出点B的坐标，然后根据点A、点B都在一次函数y=kx+b（k≠0）的图象上，利用待定系数法求出一次函数的解析式；
（3）根据直线y=$\frac{1}{4}$x+$\frac{1}{2}$与y轴的交点（0，$\frac{1}{2}$），即可得到结论．

解答 解：（1）依题意，知点A的坐标是（2，1）．
∵点A在反比例函数y=$\frac{m}{x}$ （m≠0）的图象上，
∴m=2×1=2．
∴反比例函数的解析式为y=$\frac{2}{x}$；

（2）∵y=$\frac{2}{x}$，
∴当y=-$\frac{1}{2}$时，x=-4．
∴点B的坐标为（-4，-$\frac{1}{2}$）．
∵点A、点B都在一次函数y=kx+b（k≠0）的图象上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=1}\\{-4k+b=-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{4}}\\{b=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$．
∴一次函数的解析式为y=$\frac{1}{4}$x+$\frac{1}{2}$；

（3）在y=$\frac{1}{4}$x+$\frac{1}{2}$中，令x=0，得y=$\frac{1}{2}$，
∴直线y=$\frac{1}{4}$x+$\frac{1}{2}$与y轴的交点（0，$\frac{1}{2}$），
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}×$$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}$×2=$\frac{5}{8}$．

点评 本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，函数解析式的求法，三角形面积的求法，熟练掌握函数解析式的求法是解题的关键．