Question

18．探究：如图①，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高线，以点D为中点作线段EF，且EF不与BC边重合，以EF为边作等边三角形EFG，连结AG，GD，CF．求证：△ADG∽△CDF；
应用：如图②，将线段EF绕着点D逆时针旋转，当点F落在AD上时，延长CF交AG于点H，求∠AHF的度数．

Answer 1

分析 探究：如图①由△ABC是等边三角形，D是EF的中点，于是得到GD⊥EF，由于AD⊥BC，推出∠ADF+∠ADG=∠CDF+∠ADF，于是得到∠ADG=∠CDF，根据△ABC与△EFG是等边三角形，得到△ABC∽△EFG，根据相似三角形的性质得到$\frac{AD}{GD}=\frac{CD}{DF}$，即可得到结论；
应用：如图②，根据相似三角形的性质得到∠GAD=∠FCD，由于∠FDC=90°，∠AFH=∠CFD，于是得到∠GAD+∠AFH=∠FCD+∠CFD=90°，即可得到结果．

解答 解：探究：如图①∵△ABC是等边三角形，D是EF的中点，
∴GD⊥EF，
∵AD⊥BC，
∴∠ADF+∠ADG=∠CDF+∠ADF，
∴∠ADG=∠CDF，
∵△ABC与△EFG是等边三角形，
∴△ABC∽△EFG，
∴$\frac{AD}{GD}=\frac{CD}{DF}$，
∴△ADG∽△CDF；
应用：如图②，
∵△ADG∽△CDF，
∴∠GAD=∠FCD，
∵∠FDC=90°，∠AFH=∠CFD，
∴∠GAD+∠AFH=∠FCD+∠CFD=90°，
∴∠AHF=90°．

点评 本题考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质，证明△ADG∽△CDF是解题的关键．