Question

某企业为一商场提供家电配件，从去年1至9月，该配件的原材料价格一路攀升，每件配件的原材料价格y₁（元）与月份x（1≤x≤9，且x取整数）之间的函数关系如下表：

月份x	1	2	3	4	5	6	7	8	9
价格y1（元/件）	56	58	60	62	64	66	68	70	72

随着国家调控措施的出台，原材料价格的涨势趋缓，10至12月每件配件的原材料价格y₂（元）与月份x（10≤x≤12，且x取整数）之间存在如图所示的变化趋势：

（1）请观察题中的表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，直接写出y₁与x之间的函数关系式，根据如图所示的变化趋势，直接写出y₂与x之间满足的一次函数关系式；

（2）若去年该配件每件的售价为100元，生产每件配件的人力成本为5元，其它成本3元，该配件在1至9月的销售量p₁（万件）与月份x满足函数关系式p₁=0.1x+1.1（1≤x≤9，且x取整数），10至12月的销售量p₂（万件）与月份x满足函数关系式p₂=﹣0.1x+2.9（10≤x≤12，且x取整数）．求去年哪个月销售该配件的利润最大，并求出这个最大利润；

（3）今年1月份，每件配件的原材料价格均比去年10月上涨8元，人力成本比去年增加1元，其它成本没有变化，该企业将每件配件的售价在去年的基础上提高a%，与此同时每月销售量均在去年12月的基础上减少8a%．这样，该月完成了17万元利润的任务，请你计算出a的值．

Answer 1

【考点】二次函数的应用．

【专题】销售问题．

【分析】（1）根据表格可以得到y₁与x之间的函数关系式，根据函数图象可以得到y₂与x之间的一次函数关系式；

（2）根据题意可以分别求出当1≤x≤9时的最大利润和10≤x≤12时的利润的最大值，然后进行比较，即可求得去年哪个月销售该配件的利润最大，并求出这个最大利润；

（3）根据题目中的信息可以列出相应的关系式，从而可以求得a的值．

【解答】解：（1）设y₁=kx+b，

由表格可得，，

解得，

∴y₁=2x+54（1≤x≤9，x取整数），

设y₂=ax+b，

由函数图象可知，点（10，73），（12，75）在函数的图象上，

∴

解得，

∴y₂=x+63（10≤x≤12且x取整数），

即y₁=2x+54（1≤x≤9，x取整数），y₂=x+63（10≤x≤12且x取整数）；

（2）设去年第x月的利润为w万元，

当1≤x≤9且x去整数时，

w=（100﹣5﹣3﹣y₁）×p₁

=（92﹣2x﹣54）（0.1x+1.1）

=﹣0.2x²+1.6x+41.8

=﹣0.2（x﹣4）²+45

∵1≤x≤9，

∴当x=4时，w取得最大值，此时w=45；

当10≤x≤12且x取整数，

w=（100﹣5﹣3﹣y₂）p₂

=（92﹣x﹣63）（﹣0.1x+2.9）

=0.1（x﹣29）²，

∵10≤x≤12且x取整数，

∴当x=10时，w取得最大值，此时w=36.1；

∵45＞36.1

∴去年4月销售该配件的利润最大，最大利润是45万元；

（3）由题意可得，

[100（1+a%）﹣81﹣6﹣3]×（﹣0.1×12+2.9）（1﹣8a%）=17

解得a₁=2.5，a₂=0（舍去）

即a的值为2.5．

【点评】本题考查二次函数的应用、求函数的解析式、求函数的最值，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．