Question

如图，在平面直角坐标系中，点A、C分别在x轴、y轴上，四边形ABCO为矩形，AB=16，点D与点A关于y轴对称，tan∠ACB=，∠CDE=∠CAO，点E、F分别是线段AD、AC上的动点（点E不与点A、D重合），且∠CEF=∠ACB．

（1）求AC的长和点D的坐标；

（2）证明：△AEF∽△DCE；

（3）当△EFC为等腰三角形时，求点E的坐标．

Answer 1

【考点】相似形综合题．

【专题】综合题；图形的相似．

【分析】（1）由tan∠ACB的值，求出cos∠ACB的值，再由矩形ABCO，以及AB的长，求出BC与AC的长，利用对称性确定出D坐标即可；

（2）由对称性得到∠CDE=∠CAO，利用等式的性质得到一对角相等，利用两角相等的三角形相似即可得证；

（3）当△EFC为等腰三角形时，有以下三种情况：当CE=EF；当EF=FC；当CE=CF时，利用相似三角形的判定与性质分别求出E坐标即可．

【解答】解：（1）由题意tan∠ACB=，

∴cos∠ACB=，

∵四边形ABCO为矩形，AB=16，

∴BC==12，AC==20，

∴A（﹣12，0），

∵点D与点A关于y轴对称，

∴D（12，0）；

（2）∵点D与点A关于y轴对称，

∴∠CDE=∠CAO，

∵∠CEF=∠ACB，∠ACB=∠CAO，

∴∠CDE=∠CEF，

又∵∠AEC=∠AEF+∠CEF=∠CDE+∠DCE，

∴∠AEF=∠DCE，

∴△AEF∽△DCE；

（3）当△EFC为等腰三角形时，有以下三种情况：

①当CE=EF时，

∵△AEF∽△DCE，

∴△AEF≌△DCE，

∴AE=CD=20，

∴OE=AE﹣OA=20﹣12=8，

∴E（8，0）；

②当EF=FC时，过点F作FM⊥CE于M，则点M为CE中点，

∴CE=2ME=2EF•cos∠CEF=2EF•cos∠ACB=EF，

∵△AEF∽△DCE，

∴=，即=，

∴AE=，

∴DE=AE﹣OA=﹣12=，

∴E（，0）；

③当CE=CF时，则有∠CFE=∠CEF，

∵∠CEF=∠ACB=∠CAO，

∴∠CFE=CAO，即此时点E与点D重合，这与已知条件矛盾，

综上所述，E（8，0）或（，0）．

【点评】此题属于相似形综合题，涉及的知识有：锐角三角函数定义，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．