Question

如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx+3交x轴于A（﹣1，0）和B（5，0）两点，交y轴于点C，点D是线段OB上一动点，连接CD，将线段CD绕点D顺时针旋转90°得到线段DE，过点E作直线l⊥x轴于H，过点C作CF⊥l于F．

（1）求抛物线解析式；

（2）如图2，当点F恰好在抛物线上时，求线段OD的长；

（3）在（2）的条件下：

①连接DF，求tan∠FDE的值；

②试探究在直线l上，是否存在点G，使∠EDG=45°？若存在，请直接写出点G的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【考点】二次函数综合题．

【专题】压轴题．

【分析】（1）利用待定系数法求得即可；

（2）根据C的纵坐标求得F的坐标，然后通过△OCD≌△HDE，得出DH=OC=3，即可求得OD的长；

（3）①先确定C、D、E、F四点共圆，根据圆周角定理求得∠ECF=∠EDF，由于tan∠ECF===，即可求得tan∠FDE=；

②连接CE，得出△CDE是等腰直角三角形，得出∠CED=45°，过D点作DG₁∥CE，交直线l于G₁，过D点作DG₂⊥CE，交直线l于G₂，则∠EDG₁=45°，∠EDG₂=45°，求得直线CE的解析式为y=﹣x+3，即可设出直线DG₁的解析式为y=﹣x+m，直线DG₂的解析式为y=2x+n，把D的坐标代入即可求得m、n，从而求得解析式，进而求得G的坐标．

【解答】解：（1）如图1，∵抛物线y=ax²+bx+3交x轴于A（﹣1，0）和B（5，0）两点，

∴，

解得．

∴抛物线解析式为y=﹣x²+x+3；

（2）如图2，∵点F恰好在抛物线上，C（0，3），

∴F的纵坐标为3，

把y=3代入y=﹣x²+x+3得，3=﹣x²+x+3；

解得x=0或x=4，

∴F（4，3）

∴OH=4，

∵∠CDE=90°，

∴∠ODC+∠EDH=90°，

∴∠OCD=∠EDH，

在△OCD和△HDE中，

，

∴△OCD≌△HDE（AAS），

∴DH=OC=3，

∴OD=4﹣3=1；

（3）①如图3，连接CE，

△OCD≌△HDE，

∴HE=OD=1，

∵BF=OC=3，

∴EF=3﹣1=2，

∵∠CDE=∠CFE=90°，

∴C、D、E、F四点共圆，

∴∠ECF=∠EDF，

在RT△CEF中，∵CF=OH=4，

∴tan∠ECF===，

∴tan∠FDE=；

②如图4连接CE，

∵CD=DE，∠CDE=90°，

∴∠CED=45°，

过D点作DG₁∥CE，交直线l于G₁，过D点作DG₂⊥CE，交直线l于G₂，则∠EDG₁=45°，∠EDG₂=45°

∵EH=1，OH=4，

∴E（4，1），

∵C（0，3），

∴直线CE的解析式为y=﹣x+3，

设直线DG₁的解析式为y=﹣x+m，

∵D（1，0），

∴0=﹣×1+m，解得m=，

∴直线DG₁的解析式为y=﹣x+，

当x=4时，y=﹣+=﹣，

∴G₁（4，﹣）；

设直线DG₂的解析式为y=2x+n，

∵D（1，0），

∴0=2×1+n，解得n=﹣2，

∴直线DG₂的解析式为y=2x﹣2，

当x=4时，y=2×4﹣2=6，

∴G₂（4，6）；

综上，在直线l上，是否存在点G，使∠EDG=45°，点G的坐标为（4，﹣）或（4，6）．

【点评】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，一次函数的解析式，三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的性质，平行线的性质等，数形结合思想的应用是解题的关键．