Question

【题目】平面直角坐标系中，已知A(1，2)、B(3，0)．若在坐标轴上取点C，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（ ）

A.5B.6C.7D.8

Answer 1

【答案】C

【解析】

根据等腰三角形腰的情况分类讨论，①若AB=AC时，以A为圆心，AB的长为半径画圆，先求出AB，根据直线与圆的位置关系，判定出此时圆与坐标轴的位置关系，即可得出结论；②若BA=BC时，以B为圆心，AB的长为半径画圆，根据直线与圆的位置关系，判定出此时圆与坐标轴的位置关系，即可得出结论；③若AC=BC时，作AB的垂直平分线，观察坐标系即可得出结论．

解：分三种情况：

①若AB=AC时，以A为圆心，AB的长为半径画圆，如下图所示

根据平面直角坐标系中任意两点的距离公式：AB=

而点A到x轴的距离为2＜，圆与x轴相交

∴此圆与x轴有两个交点（其中一个为点B），即此时在x轴上有1个符合条件的点C

点A到y轴的距离为1＜，圆与y轴相交

∴此圆与y轴有两个交点，即此时在y轴上有2个符合条件的点C

即若AB=AC时，满足条件的C有3个；

②若BA=BC时，以B为圆心，AB的长为半径画圆，如下图所示

点B到x轴的距离为0＜，圆与x轴相交

∴此圆与x轴有两个交点，即此时在x轴上有2个符合条件的点C

点B到y轴的距离为3＞，圆与y轴相离

∴此圆与y轴无交点，即此时在y轴上不存在点C

即若BA=BC时，满足条件的C有2个；

③若AC=BC时，作AB的垂直平分线，如下图所示，与坐标轴有2个交点，根据垂直平分线的性质，即若AC=BC时，满足条件的C有2个；

综上所述：满足条件的点C的个数是3＋2＋2=7个

故选C．