Question

【题目】如图，AB为的直径，点C和点G是上的两点，过点C作BG的垂线交BG的延长线于点D延长DC交A的延长线于点E，连接BC，交OD于点F，BC平分∠ABD．

（1）求证：CD是的切线；

（2）若，探索线段OF与FD的数量关系；

（3）连接AD，若，，求AD的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2），理由见解析；（3）

【解析】

（1）连接OC，然后根据题意和角平分线的性质可以判断OC∥BD，由∠BDC=90°，从而以证明结论成立；
（2）利用角的性质证得，设的半径为r，证得，利用同高的两个三角形面积的比等于底的比得到，继而证得结论；

（3）利用角的性质求得，，利用求得，作，易求得，，继而求得，再利用勾股定理即可求得答案．

（1）如图，连接OC．

∵，BC平分，

∴，，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵OC是的半径，

∴CD是的切线；

（2）．

理由如下：

∵，，

∴，

∵，

∴，

设的半径为r，则，，

∵，，

∴，，

∵BC平分，

∴F到OB、DB的距离相等，

∴，

∴，

即；

（3）∵，

∴，

∵，

∴，，

∵，

∴，

∴，

∴，

如解图，过点D作于点M，

∴，

∵，，

∴，，

∵，

∴，

∴，

∵，，

∴．