Question

【题目】如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交AC于点D，过点D作DE⊥BC于点E，且∠BDE=∠A．

（1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；

（2）若AC=16，tanA=，求⊙O的半径．

Answer 1

【答案】（1）DE为⊙O的切线；理由见解析；（2）5．

【解析】

（1）连接DO，BD，由∠BDE=∠A，∠A=∠ADO，得到∠ADO=∠EDB，再由圆周角定理得∠ADB=90°，得到∠ADO+∠ODB=90°，于是有∠ODB+∠EDB=90°，然后由切线的判定定理可判断DE为⊙O的切线；

（2）由等角的余角相等得到∠ABD=∠EBD，由于BD⊥AC，得到△ABC为等腰三角形，所以AD=CD=AC=8，在Rt△ABD中利用正切定义可计算出BD的长，再由勾股定理计算出AB，从而得到⊙O的半径．

解：（1）DE与⊙O相切．理由如下：

连接DO，BD，如图，

∵∠BDE=∠A，∠A=∠ADO，

∴∠ADO=∠EDB，

∵AB为⊙O的直径，

∴∠ADB=90°，

∴∠ADO+∠ODB=90°，

∴∠ODB+∠EDB=90°，即∠ODE=90°，

∴OD⊥DE，

∴DE为⊙O的切线；

（2）∵∠BDE=∠A，

∴∠ABD=∠EBD，而BD⊥AC，

∴△ABC为等腰三角形，

∴AD=CD=AC=8，

在Rt△ABD中，∵tanA==，

∴BD=×8=6，

∴AB==10，

∴⊙O的半径为5．