Question

【题目】已知，正方形ABCD，M在CB延长线上，N在DC延长线上，∠MAN=45°．求证：MN=DN-BM．

Answer 1

【答案】详见解析

【解析】

根据题意作辅助线AH⊥MN，垂足为H以及在DN上截取DE=MB，连接AE，证△ABM≌△ADE，推出AM=AE；∠MAB=∠EAD，求出∠EAN=∠MAN，根据SAS证△AMN≌△AEN，推出MN=EN即可.

解：如图，作辅助线AH⊥MN，垂足为H，并在DN上截取DE=MB，连接AE，

在正方形ABCD中，

∵AD=AB，∠D=∠ABM=90°，

在△ABM与△ADE中，

∴△ABM≌△ADE，

∴AM=AE，∠MAB=∠EAD，

∵∠MAN=45°=∠MAB+∠BAN，

∴∠DAE+∠BAN=45°，

∴∠EAN=90°-45°=45°=∠MAN，

在△AMN和△AEN中，

∴△AMN≌△AEN，

∴MN=EN，

∵DN-DE=EN，

∴MN=DN-BM．