Question

2．计算：$\sqrt{1+\frac{1}{{1}^{2}}+\frac{1}{{2}^{2}}}$+$\sqrt{1+\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{3}^{2}}}$+$\sqrt{1+\frac{1}{{3}^{2}}+\frac{1}{{4}^{2}}}$+…+$\sqrt{1+\frac{1}{201{2}^{2}}+\frac{1}{201{3}^{2}}}$．

Answer 1

分析 先根据题意找出规律，再根据有理数的加减法则进行计算即可．

解答 解：∵$\sqrt{1+\frac{1}{{1}^{2}}+\frac{1}{{2}^{2}}}$=$\sqrt{1+1+\frac{1}{4}}$=$\sqrt{\frac{9}{4}}$=1+$\frac{1}{2}$，
$\sqrt{1+\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{3}^{2}}}$=$\sqrt{1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}}$=1+$\frac{1}{6}$，…，
∴$\sqrt{1+\frac{1}{{n}^{2}}+\frac{1}{{（n+1）}^{2}}}$=$\sqrt{\frac{{n}^{2}（n+1）^{2}+{n}^{2}+（n+1）^{2}}{[n（n+1）]^{2}}}$
=$\sqrt{\frac{[n（n+1）]^{2}+2n（n+1）+1}{[n（n+1）]^{2}}}$
=$\sqrt{\frac{（{n}^{2}+n+1）^{2}}{{[n（n+1）]}^{2}}}$
=$\frac{{n}^{2}+n+1}{n（n+1）}$
=1+$\frac{1}{n（n+1）}$，
∴原式=（1+$\frac{1}{1×2}$）+（1+$\frac{1}{2×3}$）+（1+$\frac{1}{3×4}$）+…+（1+$\frac{1}{2012×2013}$）
=2012+（$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{2012×2013}$）
=2012+（1-$\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$）+…+（$\frac{1}{2012}$-$\frac{1}{2013}$）
=2013-$\frac{1}{2013}$
=2012$\frac{1}{2013}$．

点评 本题考查的是二次根式的加减法，此题属规律性题目，难度较大．