Question

【题目】在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝15，sin∠BAC＝．点D在边AB上（不与点A、B重合），以AD为半径的⊙A与射线AC相交于点E，射线DE与射线BC相交于点F，射线AF与⊙A交于点G．

（1）如图，设AD＝x，用x的代数式表示DE的长；

（2）如果点E是的中点，求∠DFA的余切值；

（3）如果△AFD为直角三角形，求DE的长．

Answer 1

【答案】（1）；（2）∠DFA的余切值为；（3）DE的长为或．

【解析】

（1）过点D作DH⊥AC，垂足为H．根据锐角三角函数和勾股定理即可用x的代数式表示DE的长；

（2）根据题意可设BC＝4k（k＞0），AB＝5k，则AC＝＝3k．过点A作AM⊥DE，垂足为M，再根据锐角三角函数和勾股定理即可表示∠DFA的余切值；

（3）分两种情况讨论：当点E在AC上时，只有可能∠FAD＝90°；当点E在AC的延长线上时，只有可能∠AFD＝90°，此时∠AFC＝∠AEF．根据锐角三角函数和勾股定理即可求DE的长．

解：（1）如图，

过点D作DH⊥AC，垂足为H．

在Rt△AEH中，，

．

在⊙A中，AE＝AD＝x，

∴ ，

∴；

（2）∵，

∴可设BC＝4k（k＞0），AB＝5k，

则AC＝＝3k．

∵AC＝15，

∴3k＝15，

∴k＝5．

∴BC＝20，AB＝25．

∵点E是的中点，由题意可知此时点E在边AC上，点F在BC的延长线上，

∴∠FAC＝∠BAC．

∵∠FCA＝∠BCA＝90°，AC＝AC，

∴△FCA≌△BCA（ASA），

∴FC＝BC＝20．

∵，

又∵∠AED＝∠FEC，且∠AED、∠FEC都为锐角，

∴tan∠FEC＝2．

∴．

∴AE＝AC﹣EC＝15﹣10＝5．

过点A作AM⊥DE，垂足为M，

则．

∵，

∴ ．

在Rt△EFC中，．

∴在Rt△AFM中，．

答：∠DFA的余切值为；

（3）当点E在AC上时，只有可能∠FAD＝90°．

∵FC＝CEtan∠FEC＝2（15﹣x），

∴．

∴．

∵，

又∵∠AED＝∠ADE，且∠AED、∠ADE都为锐角，

∴．

∴．

∴AD＝x＝．

∴．

当点E在AC的延长线上时，只有可能∠AFD＝90°，

∠AFC＝∠AEF．

∵∠AFC、∠AEF都为锐角，

∴tan∠AEF＝tan∠AFC＝2．

∵CE＝AE﹣AC＝x﹣15，

∴CF＝CEtan∠AEF＝2（x﹣15）．

∴．

∴AD＝x＝．

∴．

综上所述，△AFD为直角三角形时，DE的长为或．