Question

【题目】在平面直角坐标系中，直线ABy＝kx﹣1分别交x轴、y轴于点A、B，直线CDy＝x+2分别交x轴、y轴于点D、C，且直线AB、CD交于点E，E的横坐标为﹣6．

(1)如图①，求直线AB的解析式；

(2)如图②，点P为直线BA第一象限上一点，过P作y轴的平行线交直线CD于G，交x轴于F，在线段PG取点N，在线段AF上取点Q，使GN＝QF，在DG上取点M，连接MN、QN，若∠GMN＝∠QNF，求的值；

(3)在(2)的条件下，点E关于x轴对称点为T，连接MP、TQ，若MP∥TQ，且GN：NP＝4：3，求点P的坐标．

Answer 1

【答案】(1)y＝x﹣1；(2)=；(3)点P坐标为(8，3).

【解析】

(1)把点E横坐标代入直线CD求得点E的坐标，再代入直线y＝kx﹣1中，即求得直线AB的解析式．

(2)先求出点C、D坐标得到等腰Rt△OCD，由GF∥y轴得△DGF也是等腰直角三角形，易得DG＝FG．故延长延长GF至H，使FH＝FQ构造等腰直角三角形．证明△GMN∽△HNQ，由对应线段成比例得NH＝MG．再通过转化证明FG＝NH，代入计算得到DG＝2MG，即M为DG中点，进而求得=．

(3)设点P横坐标为p，则能用p表示G、F、M的坐标，进而用p表示GP的长．由GN：NP＝4：3，求得用p表示GN的式子，又因为GN＝QF，即能用p表示Q的坐标．易求点T坐标，故能用待定系数法求直线TQ解析式中一次项系数a的式子(含p)．同理可求直线MP解析式中一次项系数c的式子(含p)，由MP∥TQ可得a＝c，即列得关于p的方程，求出p即得点P坐标．

解：(1)将x＝﹣6代入y＝x+2中得y＝﹣4

∴E(﹣6，﹣4)，

将E(﹣6，﹣4)代入y＝kx﹣1中，

得﹣4＝﹣6k﹣1，解得k＝，

∴直线AB的解析式为y＝x﹣1

(2)如图②，延长GF至H，使FH＝FQ，连接QH，

∵∠QFH＝90°，GN＝QF

∴QH＝FQ＝GN，∠NHQ＝45°

在y＝x+2中令x＝0，得y＝2，令y＝0，得x＝﹣2，

∴C(0，2)，D(﹣2，0)，

∴OC＝OD＝2

∵∠COD＝90°

∴∠OCD＝∠ODC＝45°

∵FG∥OC

∴∠DGF＝∠DCO＝45°，∠DFG＝∠COD＝90°

∴DG＝FG，∠MGN＝∠NHQ＝45°

∵∠GMN＝∠QNF

∴△GMN∽△HNQ

∴

∴NH＝MG

∵GN＝FQ＝FH

∴FN+GN＝FN+FH，即FG＝NH

∴DG＝FG＝NH＝×MG＝2MG

∴DG＝DM+MG＝2MG

∴DM＝MG＝DG

∴==

(3)如图③，点T与E关于x轴对称，

∴T(﹣6，4)

∵点P在直线BA第一象限上

∴设点P坐标为(p，p﹣1)(p＞2)

∵FG∥y轴

∴F(p，0)，G(p，p+2)，

∴PF＝p﹣1，GF＝p+2

∴GP＝GF﹣PF＝p+3

∵GN：NP＝4：3

∴FQ＝GN＝GP＝

∴xQ＝p﹣，即Q(，0)

设直线TQ解析式为：y＝ax+b

∴ 解得：a＝

∵=，即点M为DG中点

∴M(，)

设直线MP解析式为：y＝cx+d

∴ 解得：c＝

∵MP∥TQ

∴a＝c，即

解得：p＝8

∴点P坐标为(8，3)