Question

【题目】如图：抛物线y=－ +bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且∠BAC=α，∠ABC= ，tanα－tanβ=2，∠ACB=90°．

（1）求点C的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）若抛物线的顶点为P，求四边形ABPC的面积．

Answer 1

【答案】
（1）解：设A（x1，0）， B（x2，0），C（0，b） x1＜0，x2＞0，b＞0

∵ 、 是－ +ax+b=0的两根

∴ + =a， =b

在Rt△ABC中，OC⊥AB

∴OC2=OA·OB

OA=－ ，OB=

∴ =－ =b

∵

∴b=1

∴C（0，1）

（2）解：Rt△AOC和Rt△BOC中，

tanα－tanβ= ∴a=2

∴抛物线的解析式为：y=－ +2x+1

（3）解：∵y=－ +2x+1 ∴顶点P的坐标为（1，2）

当－ +2x+1=0时x=1± ∴A（1－ ，0） B（1+ ，0）

延长PC交x轴于D，直线PC为：y=x+1，点D的坐标为（-1，0）

S四边形ABCD=S△DPB-S△DCA= DB·yp- AD·yc= （2+ ）×2- （2- ）×1 =

【解析】（1）设A（x1，0）， B（x2，0），C（0，b） x1＜0，x2＞0，b＞0，根据二次函数与一元二次方程的关系知 x 1 、 x 2 是－ x 2 +ax+b=0的两根，根据根与系数的关系得 x 1 + x 2 =a， x 1 x 2 =b，判断出△AOC与△COB相似，根据相似三角形对应边成比例得出OC2=OA·OB，从而得出b 2 =－ x 1 x 2 =b，又因 b > 0，故b=1，从而得出C点的坐标；
（2）Rt△AOC和Rt△BOC中，tanα－tanβ===--==2,故a=2，从而得出抛物线的解析式为：y=－ x 2 +2x+1；
（3）首先求出抛物线的顶点P的坐标，然后根据坐标轴上点的坐标特点得出A,B的坐标，用待定系数法求出直线PC，进而找到D点的坐标，然后根据S四边形ABCD=S△DPB-S△DCA算出结果
【考点精析】根据题目的已知条件，利用根与系数的关系和确定一次函数的表达式的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系数a、b、c而定；两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商；确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式y=kx+b（k不等于0）中的常数k和b．解这类问题的一般方法是待定系数法．