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【题目】如图,抛物线y=-x2+bx+c经过点B03)和点A30).

1)求抛物线的函数表达式和直线的函数表达式;

2)若点P是抛物线落在第一象限,连接PAPB,求PAB的面积S的最大值及此时点P的坐标.

【答案】(1)y=-x2+2x+3y=-x+3(2)当a=时,SPAB有最大值,最大值为,此时点P坐标为(

【解析】

1)由AB的坐标,利用待定系数法即可求得函数解析式;

2)过P点作PNOAN,交直线BM,设点P横坐标为a,则可分别表示出PM的纵坐标,从而表示出PM的长,根据SPAB=SPAM+SPBM得到S=PMOA=-(a-2+,利用二次函数的性质可求得其最大值,及此时的点P的坐标.

1)∵抛物线y=-x2+bx+c经过点B03)和点A30),

,解得

∴抛物线的函数表达式是y=-x2+2x+3

设直线ABy=kx+m

根据题意得,解得

∴直线AB的函数表达式是y=-x+3

2)如图,过P点作PNOAN,交直线BM,设点P横坐标为a,则点P的坐标为(a-a2+2a+3),点M的坐标是(a-a+3),

又点PM在第一象限,

PM=-a2+2a+3--a+3=-a2+3a

SPAB=SPAM+SPBM=PMOA=-a2+3a×3=-a-2+

∴当a=时,SPAB有最大值,最大值为

此时点P坐标为().

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