Question

【题目】已知关于x的方程x2﹣（m﹣2）x﹣＝0．

（1）求证：无论m为何值，方程总有两个不相等实数根．

（2）设方程的两实数根为x1，x2，且满足（x1+x2）2＝|x1|﹣|x2|+2，求m的值．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）m的值为m＝4或m＝1或m＝0或m＝3．

【解析】

（1）根据判别式△＝2（m﹣1）2+2＞0，即可得到结果；

（2）由于x1x2＝﹣≤0，可得x1，x2不同号，再分两种情况讨论可求m的值．

解：（1）∵△＝[﹣（m﹣2）]2﹣4（﹣）＝2m2﹣4m+4＝2（m﹣1）2+2＞0，

∴方程总有两个不相等的实数根；

（2）∵x1x2＝﹣≤0，

∴x1，x2至少有一个为0或不同号，

当x2＜0，∵（x1+x2）2＝|x1|﹣|x2|+2，

∴（x1+x2）2＝x1+x2+2，

∴x1+x2＝2，或x1+x2＝﹣1，

∴m﹣2＝2，或m﹣2＝﹣1，

∴m＝4，或m＝1；

当x1＜0时，∵（x1+x2）2＝|x1|﹣|x2|+2，

∴（x1+x2）2＝﹣x1﹣x2+2，

∴x1+x2＝﹣2，或x1+x2＝1

∴m﹣2＝﹣2，或m﹣2＝1，

∴m＝0，或m＝3．

故m的值为m＝4或m＝1或m＝0或m＝3．