Question

【题目】如图，已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于点A（-1,0），B（3,0），与y轴交于点C。

（1）求抛物线的解析式；

（2）点P是第一象限抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线，交BC于点H.当点P运动到何处时满足PC=CH？求出此时点P的坐标；

（3）若m≤x≤m+1时，二次函数y=ax2+bx+3的最大值为m，求m的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）点P的坐标为（1，4）；（3）m的值为或．

【解析】

（1）将点A、B坐标代入抛物线解析式求出a，b值即可；

（2）求出直线BC的解析式，因点P在抛物线上，点H在直线上，故可设点P坐标为（x, ），则点H坐标为（x,-x+3），可得CM、PH的长，过点C作CM⊥PH于M，由等腰三角形的性质可得CM与PH间的数量关系，列出等式，求解即可；

（3）分类讨论，若m+1≤1时函数在x=m+1处有最大值为m，若m＜1＜m+1，函数在x=1处有最大值，若m＞1，函数在x=m处有最大值，再分别求解即可.

解：（1）由题意得

解得

∴抛物线的解析式为

（2）设直线BC的解析式为y=kx+b

由题意得∴直线BC的解析式为y= -x+3.

设点P坐标为（x, ），则点H坐标为（x,-x+3）.

由此可得，CM=x，PH=

过点C作CM⊥PH于M

∵CP=CH ∴PM=MH， ∠MCH=∠MCP

∵OB=OC ∴∠OBC=45°

∵CM∥OB ∴∠MCH=∠OBC=45°∴∠PCH=90°

∴MC=即

解得x1=0(舍) x2=1

∴当x=1时，y=4即点P的坐标为（1，4）

(3)若m+1≤1，即m≤0时，

当x=m+1时，函数有最大值为-（m+1）2+2（m+1）+3＝m，

解得（舍） ；

若m＜1＜m+1，即0＜m＜1，

当x=1时，函数有最大值为m=4（舍）；

若m＞1，

当x=m时，函数有最大值为-m2+2m+3＝m，

解得 （舍）；

综上所述，m的值为或．