[题目]已知图形和图形上的两点..如果上的所有点都在图形的内部或边上.则称为图形的内弧．特别的.在中..分别是两边的中点.如果上的所有点都在的内部或边上.则称为的中内弧．(注:是指劣弧或半圆)在平面直角坐标系中.已知点．设内弧所在圆的圆心为． (1)当时.连接.并延长．①请在图1中画出一条的内弧,②请直接写出的内弧长度的最大值．(2)连接.� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【题目】已知图形和图形上的两点、，如果上的所有点都在图形的内部或边上，则称为图形的内弧．特别的，在中，，分别是两边的中点，如果上的所有点都在的内部或边上，则称为的中内弧．（注：是指劣弧或半圆）在平面直角坐标系中，已知点．设内弧所在圆的圆心为．

（1）当时，连接、并延长．

①请在图1中画出一条的内弧；

②请直接写出的内弧长度的最大值__________．

（2）连接、并延长．

①当时，请直接写出的所有内弧所在圆的圆心的纵坐标的取值范围__________；

②若直线上存在的内弧所在圆的圆心，请求出的取值范围．

（3）作点关于点的对称点，作点关于点的对称点，连接、、．令，当的中内弧所在的圆的圆心在的外部时，的所有中内弧都存在，请直接写出的取值范围__________．

【答案】（1）①见解析，②；（2）①或，②且；（3）

【解析】

（1）①过点A、B作弧线即可；

②以线段AB为直径的半圆即是的内弧长度的最大值，利用弧长公式计算即可；

（2）①根据点A、B的坐标求出AB=，及∠OAB=30°，再分两种情况：当在线段AB上方时，当在线段AB下方时，分别求出最长值即可得到答案；

②取直线x=6上一点P，连接BP，过点P作PC⊥AB于C，直线x=6交x轴于点D，当在线段AB下方时且最大，过A、B两点的圆P与y轴相切，则BP⊥y轴，PC垂直平分AB，此时四边形OBPD是矩形，根据矩形的性质及三角形相似求出n的值，即可得到答案；

（3）作AO的垂直平分线，交x轴于点D，交CD于点P，交AB于点E，根据在线段AO的下方时，在AO的上方时，分别求出的最大值，即可得到n的取值范围.

解：（1）①如图：

②以线段AB为直径的半圆即是的内弧长度的最大值，

∵A(4，0)，B(0，4)，

∴OA=OB=4，

∴AB=，

∴的内弧长度的最大值==，

故答案为：；

（2）①∵A(4，0)，B(0，)，

∴OA=4，OB=,

∴AB=，

如图，当在线段AB上方时，此时以AB为直径的半圆的弧线最长，过圆心P作PH⊥x轴于H，则PH=，

∴，

如图，当在线段AB下方时，过A、B两点的圆P与x轴相切，过点A作x轴的垂线，与线段AB的垂直平分线交于点P，交AB于点H，此时最长，连接BP，

∵OA=4，OB=,

∴tan∠OAB= ，

∴∠OAB=30°，

∴∠BAP=60°，

∵PH垂直平分AB，

∴AP=BP，

∴△ABP是等边三角形，

∴AP=AB=，

∴，

综上，或；

②如图，取直线x=6上一点P，连接BP，过点P作PC⊥AB于C，直线x=6交x轴于点D，

当在线段AB下方时且最大，过A、B两点的圆P与y轴相切，则BP⊥y轴，PC垂直平分AB，此时四边形OBPD是矩形，

∴BP=OD=6，

∵A(4，0)，B(0，n),

∴OA=4，OB=n，

∴AB=，

∴BC=

易证△AOB∽△BCP，

∴,

∴

解得n=（n=-舍去），

同理，当在线段AB上方时且最大，n=-，

综上，n的取值范围是且；

（3）作AO的垂直平分线，交x轴于点D，交CD于点P，交AB于点E，

当在线段AO的下方时，当AO是直径时，最大，此时DP=OD=AD=2<OC，即圆心P在△BCD内部，

当在AO的上方时，当圆P与BD相切时，即AP⊥BD时，最大，

∵PE⊥AO

∴，

解得，

∴当的中内弧所在的圆的圆心在的外部时，的所有中内弧都存在，n的取值范围是.

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