Question

【题目】如图，矩形ABCD中，AB=3，AD=4，E为AB上一点，AE=1，M为射线AD上一动点，AM=a（a为大于0的常数），直线EM与直线CD交于点F，过点M作MG⊥EM，交直线BC于G．

（1）若M为边AD中点，求证：△EFG是等腰三角形；

（2）若点G与点C重合，求线段MG的长；

（3）请用含a的代数式表示△EFG的面积S，并指出S的最小整数值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）；（3）S=+6，S的最小整数值为7

【解析】

（1）利用△MAE≌△MDF，求出EM=FM，再由MG⊥EM，得出EG=FG，所以△EFG是等腰三角形；

（2）利用勾股定理EM2=AE2+AM2，EC2=BE2+BC2，得出CM2=EC2-EM2，利用线段关系求出CM．再△MAE∽△CDM，求出a的值，再求出CM．

（3）①当点M在AD上时，②：①当点M在AD的延长线上时，作MN⊥BC，交BC于点N，先求出EM，再利用△MAE∽△MDF求出FM，得到EF的值，再由△MNG∽△MAE得出MG的长度，然后用含a的代数式表示△EFG的面积S，指出S的最小整数值．

（1）∵四边形ABCD是矩形，

∴∠A=∠MDF=90°，

∵M为边AD中点，

∴MA=MD

在△MAE和△MDF中，

∴△MAE≌△MDF（ASA），

∴EM=FM，

又∵MG⊥EM，

∴EG=FG，

∴△EFG是等腰三角形；

（2）解：如图1，

∵AB=3，AD=4，AE=1，AM=a

∴BE=AB﹣AE=3﹣1=2，BC=AD=4，

∴EM2=AE2+AM2，EC2=BE2+BC2，

∴EM2=1+a2，EC2=4+16=20，

∵CM2=EC2﹣EM2，

∴CM2=20﹣1﹣a2=19﹣a2，

∴CM=．

∵AB∥CD，

∴∠AEM=∠MFD，

又∵∠MCD+∠MFD=90°，∠AME+∠AEM=90°，

∴∠AME=∠MCD，

∵∠MAE=∠CDM=90°，

∴△MAE∽△CDM，

∴，即，

解得a=1或3，

代入CM=,

得．

（3）解：：①当点M在AD上时，如图2，作MN⊥BC，交BC于点N，

∵AB=3，AD=4，AE=1，AM=a

∴，MD=AD﹣AM=4﹣a，

∵∠A=∠MDF=90°，∠AME=∠DMF，

∴△MAE∽△MDF

∴，

∴，

∴，

∴，

∵AD∥BC，

∴∠MGN=∠DMG，

∵∠AME+∠AEM=90°，∠AME+∠DMG=90°，

∴∠AME=∠DMG，

∴∠MGN=∠AME，

∵∠MNG=∠MAE=90°，

∴△MNG∽△MAE

∴，

∴，

∴，

∴，

即S=+6，

当a=，S有最小整数值，S=1+6=7．

②当点M在AD的延长线上时，如图3，作MN⊥BC，交BC延长线于点N，

∵AB=3，AD=4，AE=1，AM=a，

∴，MD=a-4，

∵DC∥AB，

∴△MAE∽△MDF

∴，

∴，

∴，

∴，

∵∠AME+∠EMN=90°，∠NMG+∠EMN=90°，

∴∠AME=∠NMG，

∵∠MNG=∠MAE=90°，

∴△MNG∽△MAE

∴，

∴，

∴，

∴

即S=+6，

当a＞4时，S没有整数值．

综上所述当a=时，S有最小整数值，S=1+6=7．