【题目】已知△ABC为等边三角形,点D为直线BC上的一动点(点D不与B、C重合),以AD为边作菱形ADEF(A、D、E、F按逆时针排列),使∠DAF=60°,连接CF.
(1)如图1,当点D在边BC上时,求证:①BD=CF;②AC=CF+CD;
(2)如图2,当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时,结论AC=CF+CD是否成立?若不成立,请写出AC、CF、CD之间存在的数量关系,并说明理由;
(3)如图3,当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时,补全图形,并直接写出AC、CF、CD之间存在的数量关系
【答案】(1)见解析;
(2)见解析;
(3)见解析.
【解析】
(1)根据已知得出AF=AD,AB=BC=AC,∠BAC=∠DAF=60°,求出∠BAD=CAF,由SAS证△BAD≌△CAF,推出CF=BD即可.
(2)求出∠BAD=∠CAF,根据SAS证△BAD≌△CAF,推出BD=CF即可.
(3)画出图形后,根据SAS证△BAD≌△CAF,推出CF=BD即可:
解:(1)证明:∵四边形AFED是菱形,∴AF=AD.
∵△ABC是等边三角形,∴AB=AC=BC,∠BAC=60°=∠DAF.
∴∠BAC-∠DAC=∠DAF-∠DAC,即∠BAD=∠CAF.
∵在△BAD和△CAF中, AB=AC,∠BAD=∠CAF,AD="AF" ,
∴△BAD≌△CAF(SAS).∴CF=BD.
∴CF+CD=BD+CD=BC=AC.
即①BD=CF,②AC=CF+CD.
(2)AC=CF+CD不成立,AC、CF、CD之间存在的数量关系是AC=CF-CD.理由如下:
由(1)知:AB=AC=BC,AD=AF,∠BAC=∠DAF=60°,
∴∠BAC+∠DAC=∠DAF+∠DAC,即∠BAD=∠CAF.
∵在△BAD和△CAF中,AC=AB,∠BAD=∠CAF ,AD=AF,
∴△BAD≌△CAF(SAS).∴BD=CF.
∴CF-CD=BD-CD=BC=AC,即AC=CF-CD.
补全图形如下,AC、CF、CD之间的数量关系为AC=CD-CF.
(3)∵∠BAC=∠DAF=60°,∴∠DAB=∠CAF,
∵在△BAD和△CAF中, AB=AC,∠DAB=∠CAF, AD=AF,
∴△BAD≌△CAF(SAS).∴CF=BD.∴CD-CF=CD-BD=BC=AC.
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【题目】在一条笔直的公路上有A、B、C三地,C地位于A、B两地之间.甲车从A地沿这条公路匀速驶向C地,乙车从B地沿这条公路匀速驶向A地,在甲、乙行驶过程中,甲、乙两车各自与C地的距离y(km)与甲车行驶时间t(h)之间的函数关系如图所示.则当乙车到达A地时,甲车已在C地休息了_____小时.
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【题目】如图,矩形ABCD中,AB=10,AD=4,点E从D向C以每秒1个单位的速度运动,以AE为一边在AE的左上方作正方形AEFG,同时垂直于CD的直线MN也从C向D以每秒2个单位的速度运动,当点F落在直线MN上,设运动的时间为t,则t的值为( )
A.1B.C.4D.
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【题目】据《北京晚报》介绍,自2009年故宫博物院年度接待观众首次突破1000万人次之后,每年接待量持续增长,到2018年突破1700万人次,成为世界上接待量最多的博物馆.特别是随着《我在故宫修文物》、《上新了,故宫》等一批电视文博节目的播出,社会上再次掀起故宫热.于是故宫文创营销人员为开发针对不同年龄群体的文创产品,随机调查了部分参观故宫的观众的年龄,整理并绘制了如下统计图表.
2018年参观故宫观众年龄频数分布表
年龄x/岁 | 频数/人数 | 频率 |
20≤x<30 | 80 | b |
30≤x<40 | a | 0.240 |
40≤x<50 | 35 | 0.175 |
50≤x<60 | 37 | c |
合计 | 200 | 1.000 |
(1)求表中a,b,c的值;
(2)补全频数分布直方图;
(3)从数据上看,年轻观众(20≤x<40)已经成为参观故宫的主要群体.如果今年参观故宫人数达到2000万人次,那么其中年轻观众预计约有 万人次.
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【题目】已知二次函数y=(x-1)2+n,当x=3时,y=2.
(1)求抛物线的解析式,并在平面直角坐标系中画出该函数的图象;
(2)过点D(0,2)作x轴的平行线交抛物线于E,F两点,求EF的长.
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【题目】如图,为了拆除震后危楼,抗震减灾工作组对所剩部分危楼楼房进行摸排测量.在危楼楼角B点处,测得危楼楼顶A的仰角为60°;沿楼角B点的正前方前进8米到达点C,在离C点2米高的D处测得危楼楼顶A的仰角为30°.请根据以上测量数据,求出楼顶A离地面的高度.(≈1.7,精确到1米)
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【题目】如图,已知在平面直角坐标系xOy中,O为坐标原点,抛物线y=﹣x2+bx+c经过原点,与x轴的另一个交点为A(﹣6,0),点C是抛物线的顶点,且⊙C与y轴相切,点P为⊙C上一动点.若点D为PA的中点,连结OD,则OD的最大值是( )
A.B.
C.2
D.
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【题目】如图,直线y=kx+b(k≠0)与双曲线y=(m≠0)交于点A(﹣
,2),B(n,﹣1).
(1)求直线与双曲线的解析式.
(2)点P在x轴上,如果S△ABP=3,求点P的坐标.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,点的坐标为
,直线
与
轴,
轴分别交于点
,
,当
轴上的动点
到直线
的距离
与到点
的距离
之和最小时,则点
的坐标是__________.
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