Question

【题目】如图（1），在中，，，点是斜边的中点，点，分别在线段，上， 且．

（1）求证：为等腰直角三角形；

（2）若的面积为7，求四边形的面积；

（3）如图（2），如果点运动到的延长线上时，点在射线上且保持，还是等腰直角三角形吗．请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）3.5；（3）是，理由见解析．

【解析】

（1）由题意连接AD，并利用全等三角形的判定判定△BDE≌△ADF(ASA)，进而分析证得为等腰直角三角形；

（2）由题意分析可得S四边形AEDF=SADF+SADE=SBDE+SCDF，以此进行分析计算求出四边形的面积即可；

（3）根据题意连接AD，运用全等三角形的判定判定△BDE≌△ADF(ASA)，进而分析证得为等腰直角三角形.

解：（1）证明：如图①，连接AD.

∵∠BAC=90,AB=AC,点D是斜边BC的中点，

∴AD⊥BC，AD=BD，

∴∠1=∠B=45°，

∵∠EDF=90°，∠2+∠3=90°，

又∵∠3+∠4=90°，

∴∠2=∠4，

在△BDE 和△ADF中，∠1=∠B，AD=BD,∠2=∠4，

∴△BDE≌△ADF(ASA),

∴DE=DF,

又∵∠EDF=90°，

∴ΔDEF为等腰直角三角形.

（2）由（1）可知DE=DF，∠C=∠6=45°，

又∵∠2+∠3=90°，∠2+∠5=90°，

∴∠3=∠5，

∴△ADE≌△CDF，

∴S四边形AEDF=SADF+SADE=SBDE+SCDF，

∴ SABC=2 S四边形AEDF,

∴S四边形AEDF=3.5 .

（3）是.如图②，连接AD.

∵∠BAC=90°，AB=AC，D是斜边BC的中点，

∴AD⊥BC,AD=BD ，

∴∠1=45°，

∵∠DAF=180°-∠1=180°—45°=135°，∠DBE=180°-∠ABC=180°-45°=135°，

∴∠DAF=∠DBE，

∵∠EDF=90°，

∴∠3+∠4=90°，

又∵∠2+∠3=90°，

∴∠2=∠4,

在△BDE和△ADF中，∠DAF=∠DBE，AD=BD,∠2=∠4,

∴△BDE≌△ADF(ASA),

∴DE=DF,

又∵∠EDF=90°，

∴△DEF为等腰直角三角形.