Question

1．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，以点A为圆心，AD为半径的圆与BC相切于点E，与AB相交于点F，若AD=$\sqrt{3}$，BE=1，则图中阴影部分的面积为3$+\frac{\sqrt{3}}{2}-π$．

Answer 1

分析 连接AE，则AE⊥BC，由AD∥BC，DC⊥BC，易得AE=DC=AD=$\sqrt{3}$，利用锐角三角函数易得∠B=60°，可得∠BAD=120°，可得扇形面积，阴影部分的面积=梯形的面积-扇形的面积，从而求解．

解答 解：连接AE，则AE⊥BC，
∵AD∥BC，DC⊥BC，
∴AE=DC=AD=$\sqrt{3}$，
在直角三角形ABE中，tan∠B=$\frac{AE}{BE}$=$\sqrt{3}$，
∴∠B=60°，
∴∠BAE=30°，
∴∠BAD=120°，
∴S_扇形DAF=$\frac{120°}{360°}{πR}^{2}$=$\frac{1}{3}×$π×${（\sqrt{3}）}^{2}$=π，
S_梯形ABCD=$\frac{1}{2}$×（AD+BC）×CD=$\frac{1}{2}×$（$\sqrt{3}+\sqrt{3}+1$）×$\sqrt{3}$=3$+\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴S_阴影=3$+\frac{\sqrt{3}}{2}$-π．
故答案为：3$+\frac{\sqrt{3}}{2}-π$．

点评 本题主要考查了扇形的面积和梯形的面积计算，利用锐角三角函数得出∠B=60°是解答此题的关键．