Question

已知关于x的方程x²+2（a-3）x+a²-7a-b+12=0有两个相等的实根，且满足2a-b=0．
（1）求a、b的值；
（2）已知k为一实数，求证：关于x的方程（-a+b）x²+bkx+2k-（a+b）=0有两个不等的实根．

Answer 1

考点：根的判别式

专题：

分析：（1）让根的判别式等于0，联立已知条件2a-b=0，可得a，b的值；
（2）先计算出△=（bk）²-4（-a+b）[2k-（a+b）]═4（k-1）²+8＞0，即可证明．

解答：解：（1）∵△=4（a-3）²-4（a²-7a-b+12）=0，
∴a+b-3=0，
又∵2a-b=0，
∴a=1，b=2；

（2）∵a=1，b=2，
∴原方程为：x²+2kx+2k-3=0
∵△=（2k）²-4（2k-3）=4k²-8k+12=4（k-1）²+8＞0，
∴关于x的方程（-a+b）x²+bkx+2k-（a+b）=0有两个不等的实根．

点评：本题考查了一元二次方程根的判别式，要知道，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0?方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0?方程没有实数根．