Question

6．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，坐标轴上两点A、C的坐标分别为（0，8），（32，0），AD∥OC，DC=8$\sqrt{2}$，点P从A出发，以每秒1个单位的速度沿着AD向D点运动；点Q从C点同时出发，以每秒3个单位的速度沿着CO向左运动，当点P到达D点时，点P、Q同时停止运动，设点P的运动时间为t秒．
（1）图中线段AD的长度为24，当t=6时，四边形PQCD是平行四边形
（2）从运动开始，是否存在某个t值，使得以P、D、O、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出t值；若不存在，说明理由．
（3）从运动开始，是否存在某个t值，使得四边形AOQP恰好为正方形？若存在，求出t值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）作DB⊥OC交OC于点B，由A、C的坐标，可得DB的值，利用勾股定理可得BC的值，由当PD=CQ时，四边形PQCD是平行四边形，可列出24-t=3t，求出t的值即可；
（2）分两种情况：①当PO=DQ时，四边形PDQO是平行四边形，②）当PO=DQ时，四边形PDOQ是平行四边形时分别求解即可；
（3）由四边形AOQP恰好为正方形，可得AP=AO=8，此时t=8，可求出OQ=8，即可得出当t=8时，四边形AOQP恰好为正方形．

解答 解：（1）如图1，作DB⊥OC交OC于点B，

∵A、C的坐标分别为（0，8），（32，0），
∴DB=AO=8，DC=8$\sqrt{2}$，
∴BC=$\sqrt{D{C}^{2}-D{B}^{2}}$=$\sqrt{128-64}$=8，
∴AD=OC-OB=32-8=24，
∵当PD=CQ时，四边形PQCD是平行四边形，
∴24-t=3t，解得t=6，
∴当t=6时，四边形PQCD是平行四边形，
故答案为：24，6．
（2）存在．
①∵当PO=DQ时，四边形PDQO是平行四边形，
∴24-t=32-3t，解得t=4，
∴当t=4时，四边形PDQO是平行四边形，
②）∵当PO=DQ时，四边形PDOQ是平行四边形，
∴24-t=3t-32，解得t=14，
∴当t=14时，四边形PDOQ是平行四边形，
（3）存在．
∵四边形AOQP恰好为正方形，
∴AP=AO=8，此时t=8，
∴OQ=32-3×8=8，
∴当t=8时，四边形AOQP恰好为正方形．

点评 本题主要考查了四边形的综合题，涉及勾股定理，平行四边形的性质及正方形的判定，解题的关键是分类讨论．