Question

15．如图，△ABC中，CF与AE交于点D．
（1）填空：当CD=DF，BE=3EC时，BF：AF=2：1；
（2）若CD=m•DF．BE=n•EC（n、m是正整数），求BF：AF．

Answer 1

分析 （1）作FH∥BC交AE于H，如图，根据平行线分线段成比例定理，由HF∥CE得$\frac{HF}{CE}$=$\frac{DF}{CD}$=1，则HF=CE，由HF∥BE得$\frac{AF}{AB}$=$\frac{HF}{BE}$=$\frac{CE}{BE}$=$\frac{1}{3}$，利用比例性质得$\frac{AF}{BF}$=$\frac{1}{2}$，所以BF：AF=2：1；
（2）与（1）一样，由HF∥CE得$\frac{HF}{CE}$=$\frac{DF}{CD}$=$\frac{1}{m}$，则HF=$\frac{1}{m}$CE，由HF∥BE得到$\frac{AF}{AB}$=$\frac{HF}{BE}$=$\frac{\frac{1}{m}CE}{nCE}$=$\frac{1}{mn}$，然后根据比例性质可得BF：AF=（mn-1）：1．

解答 解：（1）作FH∥BC交AE于H，如图，
∵HF∥CE，
∴$\frac{HF}{CE}$=$\frac{DF}{CD}$=1，
∴HF=CE，
∵HF∥BE，
∴$\frac{AF}{AB}$=$\frac{HF}{BE}$=$\frac{CE}{BE}$=$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{AF}{BF}$=$\frac{1}{2}$，
即BF：AF=2：1；
故答案为2：1；
（2）作FH∥BC交AE于H，
∵HF∥CE，
∴$\frac{HF}{CE}$=$\frac{DF}{CD}$=$\frac{1}{m}$，
∴HF=$\frac{1}{m}$CE，
∵HF∥BE，
∴$\frac{AF}{AB}$=$\frac{HF}{BE}$=$\frac{\frac{1}{m}CE}{nCE}$=$\frac{1}{mn}$，
∴$\frac{AF}{BF}$=$\frac{1}{mn-1}$，
即BF：AF=（mn-1）：1．

点评 本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．也考查了比例的性质．