Question

19．如图，在直角坐标系中，双曲线y=$\frac{2}{x}$（x＞0）与矩形OABC的边AB、BC分别交于E、F，AB=nAE（n≥2），m=$\frac{{S}_{△BEF}}{{S}_{△OEF}}$．
（1）当n=2时，S_矩形OABC=4，S_△BEF=$\frac{1}{2}$、S_△OEF=$\frac{3}{2}$；
（2）求m关于n的函数关系式，并求m的最小值；
（3）当m=$\frac{3}{5}$且△OEF为直角三角形时，求OA的长．

Answer 1

分析 （1）由n=2时，可设E的坐标为：（x，$\frac{2}{x}$），则B的坐标为：（x，$\frac{4}{x}$），F的坐标为（$\frac{x}{2}$，$\frac{4}{x}$），继而求得答案；
（2）首先设点E的坐标为（x，$\frac{2}{x}$），则B的坐标为：（x，$\frac{2n}{x}$），点F的坐标为：（$\frac{x}{n}$，$\frac{2n}{x}$），然后分别求得△BEF与△OEF的面积，继而求得答案；
（3）首先由m=$\frac{3}{5}$，求得n=4，再设点E的坐标为（x，$\frac{2}{x}$），则B的坐标为：（x，$\frac{2n}{x}$），点F的坐标为：（$\frac{x}{n}$，$\frac{2n}{x}$），再由△OEF为直角三角形，利用勾股定理即可求得答案．

解答 解：（1）∵n=2，
∴AB=2AE，
设E的坐标为：（x，$\frac{2}{x}$），则B的坐标为：（x，$\frac{4}{x}$），F的坐标为（$\frac{x}{2}$，$\frac{4}{x}$），
∴S_矩形OABC=OA•AB=x•$\frac{4}{x}$=4，S_△BEF=$\frac{1}{2}$BE•BF=$\frac{1}{2}$×$\frac{2}{x}$×（x-$\frac{x}{2}$）=$\frac{1}{2}$，
∴S_△OEF=S_矩形OABC-S_△BEF-S_△OAE-S_△OCF=4-$\frac{1}{2}$-1-1=$\frac{3}{2}$；
故答案为：4，$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$；

（2）∵AB=nAE（n≥2），
∴设点E的坐标为（x，$\frac{2}{x}$），则B的坐标为：（x，$\frac{2n}{x}$），点F的坐标为：（$\frac{x}{n}$，$\frac{2n}{x}$），
∴S_△BEF=$\frac{1}{2}$BE•BF=$\frac{1}{2}$×$\frac{2n-2}{x}$×（x-$\frac{x}{n}$）=$\frac{（n-1）^{2}}{n}$，
∴S_△OEF=S_矩形OABC-S_△BEF-S_△OAE-S_△OCF=2n-$\frac{（n-1）^{2}}{n}$-1-1=$\frac{{n}^{2}-1}{n}$，
∴m=$\frac{{S}_{△BEF}}{{S}_{△OEF}}$=$\frac{（n-1）^{2}}{{n}^{2}-1}$=$\frac{n-1}{n+1}$=1-$\frac{2}{n+1}$≤1，
∴m=$\frac{n-1}{n+1}$，m的最小值为1；

（3）当m=$\frac{3}{5}$时，$\frac{n-1}{n+1}$=$\frac{3}{5}$，解得：n=4；
设点E的坐标为（x，$\frac{2}{x}$），则B的坐标为：（x，$\frac{8}{x}$），点F的坐标为：（$\frac{x}{4}$，$\frac{8}{x}$），
∴OF²=（$\frac{x}{4}$）²+（$\frac{8}{x}$）²，OE²=x²+（$\frac{2}{x}$）²，EF²=（x-$\frac{x}{4}$）²+（$\frac{6}{x}$）²，
∵△OEF为直角三角形，
∴OF²+EF²=OE²，
∴（$\frac{x}{4}$）²+（$\frac{8}{x}$）²+（x-$\frac{x}{4}$）²+（$\frac{6}{x}$）²=x²+（$\frac{2}{x}$）²，
解得：x=4，
∴OA=4．

点评 此题属于反比例函数综合题．考查了反比例函数的k的几何意义以及矩形的面积等知识．注意利用方程思想求解是解此题的关键．