Question

4．如图所示，半径为1的圆心角为60°的扇形纸片OAB在直线L上向右做无滑动的滚动．且滚动至扇形O′A′B′处，则顶点O所经过的路线总长是$\frac{4}{3}$π．

Answer 1

分析 仔细观察顶点O经过的路线可得，顶点O到O′所经过的路线可以分为三段，分别求出三段的长，再求出其和即可．

解答 解：顶点O经过的路线可以分为三段，当弧AB切直线l于点B时，有OB⊥直线l，此时O点绕不动点B转过了90°；
第二段：OB⊥直线l到OA⊥直线l，O点绕动点转动，而这一过程中弧AB始终是切于直线l的，所以O与转动点的连线始终⊥直线l，所以O点在水平运动，此时O点经过的路线长=BA′=AB的弧长；
第三段：OA⊥直线l到O点落在直线l上，O点绕不动点A转过了90°．
所以，O点经过的路线总长S=$\frac{1}{2}$π+$\frac{1}{3}$π+$\frac{1}{2}$π=$\frac{4}{3}$π．
故答案是：$\frac{4}{3}π$．

点评 本题考查了旋转的性质，弧长的计算，根据题意，准确分析得到三段的运动过程是解题的关键．