Question

11．探究1：如图1，直线PT和⊙O相切于点P，Q点是⊙O上任意一点，试探究∠TPQ和∠POQ的大小关系（写出推理过程）．
探究2：如图2，已知正方形ABCD，点E是边AB的中点，点O是线段AE上的一个动点（不与A、E重合），以O为圆心，OB为半径的圆与边AD相交于点M，过点M作⊙O的切线交DC于点N，连接OM、ON、BM、BN，请探究MN、AM、CN的数量关系（写出推理过程）．

Answer 1

分析 探究1：如图1，作直径PH，连结HQ，根据圆周角定理得到∠PQH=90°，则∠HPQ+∠H=90°，再根据切线的性质得∠HPT+∠QPT=90°，则∠H=∠QPT，由三角形外角性质得∠POQ=∠H+∠OQO=2∠H，于是有∠TPQ=$\frac{1}{2}$∠POQ；
探究2：如图2，作BP⊥MN于N，利用探究1的结论得到∠CBM=$\frac{1}{2}$BOM，∠PMB=$\frac{1}{2}$∠BOM，则∠CBM=∠PMB，再利用AD∥BC得到∠CBM=∠AMB，所以∠AMB=∠PMB，接着利用“AAS”证明△BMA≌△BMP得到AM=PM，BA=BP，由于AB=BC，则BP=BC，然后根据“HL”证明Rt△BNP≌Rt△BNC得到PN=PC，则MN=PM+PN=AM+CN．

解答 解：探究1：如图1，∠TPQ=$\frac{1}{2}$∠POQ．理由如下：
作直径PH，连结HQ，
∵PH为直径，
∴∠PQH=90°，
∴∠HPQ+∠H=90°，
∵直线PT和⊙O相切于点P，
∴HP⊥PT，
∴∠HPT+∠QPT=90°，
∴∠H=∠QPT，
∵OP=OQ，
∴∠H=∠OQH，
∴∠POQ=∠H+∠OQO=2∠H，
∴∠TPQ=$\frac{1}{2}$∠POQ；
（2）探究2：MN=AM+CN．理由如下：
如图2，作BP⊥MN于N，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠OBC=90°，
∴BC为⊙O的切线，
∴∠CBM=$\frac{1}{2}$BOM，
∵MN为⊙O的切线，
∴∠PMB=$\frac{1}{2}$∠BOM，
∴∠CBM=∠PMB，
∵AD∥BC，
∴∠CBM=∠AMB，
∴∠AMB=∠PMB，
在△BMA和△BMP中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAM=∠BPM}\\{∠BMA=∠BMP}\\{BM=BM}\end{array}\right.$，
∴△BMA≌△BMP（AAS），
∴AM=PM，BA=BP，
∵AB=BC，
∴BP=BC，
在Rt△BNP和Rt△BNC中，
$\left\{\begin{array}{l}{BP=BC}\\{BN=BN}\end{array}\right.$，
∴Rt△BNP≌Rt△BNC（HL），
∴PN=PC，
∴MN=PM+PN=AM+CN．

点评 本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆周角定理、切线的判定与性质和正方形的性质；会利用三角形全等解决线段相等的问题；利用探究1的结论是解决探究2的关键．