Question

16．如图，点B（2，2）在双曲线y=$\frac{k}{x}$（x＞0）上，点D在双曲线y=-$\frac{3}{x}$（x＜0）上，点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，且点A，B，C，D构成的四边形为正方形．
（1）求k的值；
（2）求点A的坐标．

Answer 1

分析 （1）把B的坐标代入求出即可；
（2）设MD=a，OM=b，求出ab=3，过D作DM⊥x轴于M，过B作BN⊥x轴于N，证△ADM≌△BAN，推出BN=AM=2，MD=AN=a，求出a=b，求出a的值即可．

解答 解：（1）∵B（2，2）在双曲线y=$\frac{k}{x}$上，
∴k=2×2=4；

（2）如图，过D作DM⊥x轴于M，过B作BN⊥x轴于N，
∵B（2，2），
∴BN=ON=2，
设MD=a，OM=b，
∵D在双曲线y=-$\frac{3}{x}$（x＜0）上，
∴ab=3，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAB=90°，AD=AB，
∴∠MDA+∠DAM=90°，∠DAM+∠BAN=90°，
∴∠ADM=∠BAN，
在△ADM和△BAN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠MDA=∠NAB}\\{∠DMA=∠ANB}\\{AD=BA}\end{array}\right.$，
∴△ADM≌△BAN（AAS），
∴BN=AM=2，DM=AN=a，
∴0A=2-a，
即AM=b+2-a=2，
a=b，
∵ab=3，
∴a=b=$\sqrt{3}$，
∴OA=2-$\sqrt{3}$，
即点A的坐标是（2-$\sqrt{3}$，0）．

点评 本题考查了正方形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，全等三角形的性质和判定的应用，作出辅助线构建全等三角形是本题的关键．