Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点．抛物线与轴正半轴交于点，点的坐标为，是该抛物线第一象限图像上的一点，三点均在某一个正方形的边上，且该正方形的任何一条边均与某条坐标轴平行，设点的横坐标为．若这个正方形的面积最小，则的取值范围是__________．

Answer 1

【答案】

【解析】

根据抛物线与x轴正半轴交于点A，得点A坐标为（2，0），点B的坐标为（0，3），可得最小正方形的边长为3，最小正方形的面积为9，根据题意可得A、B、C中任意两个点不能重合，故此可以确定点C的横坐标的取值范围．

解：∵抛物线与x轴正半轴交于点A，

∴点A的坐标为（2，0），

如图所示：

当A，B，C三点均在某一个正方形的边上， 且该正方形的任何一条边均与某条坐标轴平行，

∵点B的坐标为（0，3）， 正方形的面积最小时， 此时正方形的边长为3，

∴过点A、B、C的正方形的面积最小值为9，

∴S≥9．

当y=3时， 解得

∴当2＜m≤3，时， 正方形面积有最小值；

当m=-1时， 正方形最小边长也为3， 正方形面积也有最小值，

∵C在第一象限，m＞0，

综上所述：点C的横坐标m的取值范围是： 2＜m≤3．

故答案为：2＜m≤3．