Question

【题目】（操作）如图①，在矩形中，为对角线上一点（不与点重合），将沿射线方向平移到的位置，的对应点为．已知（不需要证明）．

（探究）过图①中的点作交延长线于点，连接，其它条件不变，如图②．求证：．

（拓展）将图②中的沿翻折得到，连接，其它条件不变，如图③．当最短时，若,，直接写出的长和此时四边形的周长．

Answer 1

【答案】探究：见解析；拓展： 四边形的周长为

【解析】

探究：证明四边形EGBC是平行四边形，推出EG=BC，利用SAS证明三角形全等即可．

拓展：如图3中，连接BD交AC于点O，作BK⊥AC于K，F′H⊥BC于H．由题意四边形AGFC是平行四边形，推出GF=AC=，由BF=BF′，可以假设BF=x，则BG=利用相似三角形的性质，求出BH，HF′，利用勾股定理求出GF′，再利用二次函数的性质，求出GF′的值最小时BF′的值，推出BF′= 此时点F′与O重合，由此即可解决问题．

解：探究：由平移，

∴，即

又∵，∴四边形为平行四边形

∴

∵，∴∠CBF=∠ACB，

∵

∴∠AEG=∠ACB，

∴∠AEG=∠CBF

∴．

拓展：

如图3中，连接BD交AC于点O，作BK⊥AC于K，F′H⊥BC于H．

∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC=90°，AB=4，BC=2，

∴

∵

∴，

∴

由题意四边形AGFC是平行四边形， ∴GF=AC=，

∵BF=BF′，可以假设BF=x，则BG=

∵AC∥GF， ∴∠BOK=∠HBF′，

∵∠BKO=∠F′HB=90°，

∴△F′HB∽△BKO，

∴

∴

∴

∴

∵ ＞0，

∴当 时，GF′的值最小，

此时点F′与O重合，由对折得：

由矩形的性质得：

四边形BFCF′是菱形，

四边形BFCF′的周长为，

且与互相平分，

由勾股定理得：