Question

【题目】已知函数（， 为实数）．

（）当， 取何值时，函数是二次函数．

（）若它是一个二次函数，假设，那么：

①它一定经过哪个点？请说明理由．

②若取该函数上横坐标满足（为整数）的所有点，组成新函数．当时， 随的增大而增大，且时是函数最小值，求满足的取值范围．

Answer 1

【答案】（）且时，函数是二次函数；（）一定经过和；（）．

【解析】试题分析：（1）根据二次函数的定义可得， ，即可求得m、n的取值；（2）①由函数是一个二次函数，可得m=2，再把当 ， 代入函数解析式，求得y的值，即可判定函数图象经过点的坐标；②函数的对称轴为，当， 随增大而增大，且在时函数取得最小值，即可得，由此求得n的取值范围.

试题解析：

（）函数为二次函数时，

需满足， ，即，

∴且时，函数是二次函数．

（）若是二次函数，则，

于是，

当时， ，

时， ，

∴一定经过和．

（）由题意可得，函数的对称轴为，

当， 随增大而增大，

且在时函数取得最小值，

需满足，

解得．