【题目】如图,在△ABC中,点D为BC边的中点,以点D为顶点的∠EDF的两边分别与边AB,AC交于点E,F,且∠EDF与∠A互补.
(1)如图1,若AB=AC,且∠A=90°,则线段DE与DF有何数量关系?请直接写出结论;
(2)如图2,若AB=AC,那么(1)中的结论是否还成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由;
(3)如图3,若AB:AC=m:n,探索线段DE与DF的数量关系,并证明你的结论.
【答案】(1)DE=DF;(2)DE=DF依然成立.见解析;(3)见解析
【解析】
试题分析:(1)首先根据等腰三角形的性质可得∠DAB=∠DAC=∠BAC,AD⊥BC,再证明∠C=∠B=45°,∠ADE=∠FDC,AD=DC可以利用ASA定理证明△AED≌△CFD,进而得到DE=DF;
(2)DE=DF依然成立.如图2,过点D作DM⊥AB于M,作DN⊥AC于N,连接AD,则∠EMD=∠FND=90°,由于AB=AC,点D为BC中点,根据三角形的性质三线合一得到AD平分∠BAC,于是得到DM=DN,在四边形AMDN中.,∠DMA=∠DNA=90°,得到∠MAN+∠MDN=180°,又由于∠EDF与∠MAN互补,证得∠MDN=∠EDF,推出△DEM≌△DFN(ASA),即可得到结论;
(3)结论DE:DF=n:m.如图3,过点D作DM⊥AB于M,作DN⊥AC于N,连接AD同(2)可证∠1=∠2,通过△DEM∽△DFN,得到.由于点E为AC的中点,得到S△ABD=S△ADC,列等积式即可得到结论.
解:(1)DF=DE,
理由:如图1,连接AD,
∵Rt△ABC是等腰三角形,
∴∠C=∠B=45°,
∴D是斜边BC的中点,
∴∠DAB=∠DAC=∠BAC=45°,AD⊥BC,
∴AD=DC,
∵∠EDF=90°,
∴∠ADF+∠ADE=90°,
∵AD⊥BC,
∴∠ADC=90°,
∴∠ADF+∠FDC=90°,
∴∠ADE=∠FDC,
在△ADE和△CDF中,,
∴△AED≌△CFD(ASA);
∴DE=DF;
(2)DE=DF依然成立.
如图2,过点D作DM⊥AB于M,作DN⊥AC于N,连接AD,
则∠EMD=∠FND=90°,
∵AB=AC,点D为BC中点,
∴AD平分∠BAC,
∴DM=DN,
∵在四边形AMDN中.,∠DMA=∠DNA=90°,
∴∠MAN+∠MDN=180°,
又∵∠EDF与∠MAN互补,
∴∠MDN=∠EDF,
∴∠1=∠2,在△DEM与△DFN中,,
∴△DEM≌△DFN(ASA),
∴DE=DF.
(3)结论DE:DF=n:m.
如图3,过点D作DM⊥AB于M,作DN⊥AC于N,连接AD,
同(2)可证∠1=∠2,
又∵∠EMD=∠FND=90°,
∴△DEM∽△DFN,
∴.
∵点D为BC边的中点,
∴S△ABD=S△ADC,
∴,
∴,
又∵,
∴.
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【题目】下列说法正确的个数是( ).
(1)两个无理数的和必是无理数;
(2)两个无理数的积必是无理数;
(3)无理数包括正无理数,0,负无理数;
(4)实数与数轴上的点是一一对应的.
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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【题目】如图①,在矩形 ABCD中,AB=10cm,BC=8cm.点P从A出发,沿A→B→C→D路线运动,到D停止;点Q从D出发,沿 D→C→B→A路线运动,到A停止.若点P、点Q同时出发,点P的速度为每秒1cm,点Q的速度为每秒2cm,a秒时点P、点Q同时改变速度,点P的速度变为每秒bcm,点Q的速度变为每秒dcm.图②是点P出发x秒后△APD的面积S1(cm2)与x(秒)的函数关系图象;图③是点Q出发x秒后△AQD的面积S2(cm2)与x(秒)的函数关系图象.
(1)、参照图象,求b、图②中c及d的值;
(2)、连接PQ,当PQ平分矩形ABCD的面积时,运动时间x的值为 ;
(3)、当两点改变速度后,设点P、Q在运动线路上相距的路程为y(cm),求y(cm)与运动时间x(秒)之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;
(4)、若点P、点Q在运动路线上相距的路程为25cm,求x的值.
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【题目】两地实际距离是500 m,画在图上的距离是25 cm,若在此图上量得A、B两地相距为40 cm,则A、B两地的实际距离是( )
A. 800 m B. 8000 m C. 32250 cm D. 3225 m
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【题目】如图,已知四边形ABCD是平行四边形,下列结论中不正确的是( )
A.当AB=BC时,它是菱形
B.当AC⊥BD时,它是菱形
C.当∠ABC=90°时,它是矩形
D.当AC=BD时,它是正方形
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【题目】在平行四边形ABCD中,E,F分别为边AB,CD的中点,连接DE,BF,BD.
(1)求证:△ADE≌△CBF.
(2)若AD⊥BD,则四边形BFDE是什么特殊四边形?请证明你的结论.
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【题目】如图,已知D是△ABC中一边BC上的中点 ,AC∥BE,连接ED并延长ED交AC于点N,作DM⊥EN于点D交AB于点M.
(1)求证:BE=CN
(2)试判断BM+CN与MN的大小关系,并说明理由.
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