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【题目】如图,在ABC中,点D为BC边的中点,以点D为顶点的EDF的两边分别与边AB,AC交于点E,F,且EDFA互补.

(1)如图1,若AB=AC,且A=90°,则线段DE与DF有何数量关系?请直接写出结论;

(2)如图2,若AB=AC,那么(1)中的结论是否还成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由;

(3)如图3,若AB:AC=m:n,探索线段DE与DF的数量关系,并证明你的结论.

【答案】(1)DE=DF(2)DE=DF依然成立.见解析;(3)见解析

【解析】

试题分析:(1)首先根据等腰三角形的性质可得DAB=DAC=BAC,ADBC,再证明C=B=45°ADE=FDC,AD=DC可以利用ASA定理证明AED≌△CFD,进而得到DE=DF;

(2)DE=DF依然成立.如图2,过点D作DMAB于M,作DNAC于N,连接AD,则EMD=FND=90°,由于AB=AC,点D为BC中点,根据三角形的性质三线合一得到AD平分BAC,于是得到DM=DN,在四边形AMDN中.,DMA=DNA=90°,得到MAN+MDN=180°,又由于EDFMAN互补,证得MDN=EDF,推出DEM≌△DFN(ASA),即可得到结论;

(3)结论DE:DF=n:m.如图3,过点D作DMAB于M,作DNAC于N,连接AD同(2)可证1=2,通过DEM∽△DFN,得到.由于点E为AC的中点,得到SABD=SADC,列等积式即可得到结论.

解:(1)DF=DE,

理由:如图1,连接AD,

RtABC是等腰三角形,

∴∠C=B=45°

D是斜边BC的中点,

∴∠DAB=DAC=BAC=45°,ADBC

AD=DC

∵∠EDF=90°

∴∠ADF+ADE=90°

ADBC

∴∠ADC=90°

∴∠ADF+FDC=90°

∴∠ADE=FDC

ADECDF中,

∴△AED≌△CFD(ASA);

DE=DF

(2)DE=DF依然成立.

如图2,过点D作DMAB于M,作DNAC于N,连接AD,

EMD=FND=90°,

AB=AC,点D为BC中点,

AD平分BAC

DM=DN

在四边形AMDN中.,DMA=DNA=90°

∴∠MAN+MDN=180°

∵∠EDFMAN互补,

∴∠MDN=EDF

∴∠1=2,在DEMDFN中,

∴△DEM≌△DFN(ASA),

DE=DF

(3)结论DE:DF=n:m.

如图3,过点D作DMAB于M,作DNAC于N,连接AD,

同(2)可证1=2

∵∠EMD=FND=90°

∴△DEM∽△DFN

点D为BC边的中点,

SABD=SADC

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