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【题目】如图,抛物线y=ax2+bx+2x轴相交于A(﹣1,0),B(4,0)两点,与y轴相交于点C.

(1)求抛物线的解析式;

(2)将△ABCAB中点M旋转180°,得到△BAD.

①求点D的坐标;

②判断四边形ADBC的形状,并说明理由;

(3)在该抛物线对称轴上是否存在点P,使△BMP与△BAD相似?若存在,请求出所有满足条件的P点的坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】(1)y=﹣x2+x+2;(2)①点D的坐标为(3,﹣2),②四边形ADBC为矩形,理由见解析;(3)在该抛物线对称轴上存在点P,使△BMP与△BAD相似,点P的坐标为()或(,﹣)或(,5)或(,﹣5).

【解析】

(1)由点A、B的坐标,利用待定系数法即可求出抛物线的解析式;

(2)利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点C的坐标.①过点DDEx轴于点E,根据旋转的性质可得出OA=EB、OC=ED,结合点A、B、O、C的坐标,即可找出点D的坐标;②由点A、B、C的坐标可得出OA、OC、OB的长度,利用勾股定理可求出AC、BC的长,由AC2+BC2=25=AB2可得出∠ACB=90°,再利用旋转的性质即可找出四边形ADBC为矩形;

(3)假设存在,设点P的坐标为(,m),由点MAB的中点可得出∠BPD=ADB=90°,分PMB∽△BDABMP∽△BDA两种情况考虑,利用相似三角形的性质可得出关于m的含绝对值的一元一次方程,解之即可得出结论.

(1)将A(﹣1,0)、B(4,0)代入y=ax2+bx+2,得:,解得:

∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x+2.

(2)当x=0时,y=﹣x2+x+2=2,

∴点C的坐标为(0,2).

①过点DDEx轴于点E,如图1所示.

∵将ABCAB中点M旋转180°,得到BAD,

OA=EB,OC=ED.

A(﹣1,0),O(0,0),C(0,2),B(4,0),

BE=1,DE=2,OE=3,

∴点D的坐标为(3,﹣2).

②四边形ADBC为矩形,理由如下:

A(﹣1,0),B(4,0),C(0,2),

OA=1,OC=2,OB=4,AB=5,

AC=,BC=

AC2+BC2=25=AB2

∴∠ACB=90°.

∵将ABCAB中点M旋转180°,得到BAD,

∴∠ABC=BAD,BC=AD,

BCADBC=AD,

∴四边形ADBC为平行四边形.

又∵∠ACB=90°,

∴四边形ADBC为矩形.

(3)假设存在,设点P的坐标为(,m).

∵点MAB的中点,

∴∠BPD=ADB=90°,

∴有两种情况(如图2所示).

①当PMB∽△BDA时,有,即

解得:m=±

∴点P的坐标为()或(,﹣);

②当BMP∽△BDA时,有,即

解得:m=±5,

∴点P的坐标为(,5)或(,﹣5).

综上所述:在该抛物线对称轴上存在点P,使BMPBAD相似,点P的坐标为()或(,﹣)或(,5)或(,﹣5).

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