Question

【题目】如图，在直角坐标系xOy中有一梯形ABCO，顶点C在x正半轴上，A、B两点在第一象限；且AB∥CO，AO＝BC＝2，AB＝3，OC＝5．点P在x轴上，从点（﹣2，0）出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向正方向运动；同时，过点P作直线l，使直线l和x轴向正方向夹角为30°．设点P运动了t秒，直线l扫过梯形ABCO的面积为S扫．

（1）求A、B两点的坐标；

（2）当t＝2秒时，求S扫的值；

（3）求S扫与t的函数关系式，并求出直线l扫过梯形ABCO面积的时点P的坐标．

Answer 1

【答案】（1）（1，），（4，）；（2）；（3）；P的坐标为（5﹣2，0）．

【解析】

（1）两底的差的一半就是A的横坐标；过A、B作x轴的垂线，在构建的直角三角形中根据OA的长及两底的差便可求出梯形的高即A点的纵坐标．得出A点坐标后向右平移3个单位就是B点的坐标．

（2）当t＝2时，P、O两点重合，如果设直线l与AB的交点为D，那么AD＝2，而AD边上的高就是A点的纵坐标，由此可求出△ADO的面积及直线l扫过的面积．

（3）本题要分三种情况进行讨论：

①当P在原点左侧，即当0≤t＜2时，重合部分是个三角形，如果设直线l与AO，AB分别交于E，F，可根据△AEF∽△AOD，用相似比求出其面积．即可得出S，t的函数关系式．

②当P在O点右侧（包括和O重合），而F点在B点左侧时，即当2≤t＜3时，扫过部分是个梯形，可根据梯形的面积计算方法即可得出直线l扫过部分的面积．也就能得出S，t的函数关系式．

③当P点在C点左侧（包括和C点重合），F点在B点右侧（包括和B点重合），即当3≤t≤7时，扫过部分是个五边形，可用梯形ABCO的面积减去△MPC的面积来得出S，t的函数关系式．

（1）过A作AD⊥OC于D，过B作BE⊥OC于E，则ADEB是矩形．

∵ADEB是矩形，∴AD=BE=3．

∵AO=BC，∴△AOD≌△BCE，∴OD=CE=（OC－AB）÷2=1．

∵AO=2，∴AD==，∴A（1，）．

∵OE=OD+DE=1+3=4，BE=AD=，∴B（4，）．

∵BC=2EC，∴∠EBC=30°，∴∠OCB=60°．

（2）当t＝2时，P、O两点重合，如果设直线l与AB的交点为D，那么AD＝2，而AD边上的高就是A点的纵坐标，∴S扫==．

（3）分三种情况讨论：①当0≤t＜2时，如图1，△AEF∽△AOD，，∴S扫t2；

②当2≤t＜3时，如图2，S扫＝S△AOD+S□DOPF（t﹣2），∴S扫；

③当3≤t≤7时，如图3，过B作直线EB∥直线l交OC于E．

∵∠BEC=30°，∠OCB=60°，∴∠CBE=90°，∴EC=2BC=4，∴S△CEB=，CP=7－t．

∵MP∥BE，∴，∴S△CPM＝，∴S扫＝4S△CPM＝4，∴S扫t2

综上所述： ．

∵t2，∴t2﹣14t+41＝0，t1＝7﹣2，t2＝7+27（舍），∴P的坐标为（5﹣2，0）．