Question

【题目】等腰△ABD中，AD=BD，将△ABD绕腰BD的中点顺时针旋转180°，得到△CDB，CE平分∠BCD交BD于点E，在BC的延长线上取点F，使CF=DE，连接EF交CD于点G．

（1）如图1，∠A=60°，AB=4，求CF的长；

（2）如图2，求证：DE=2CG．

Answer 1

【答案】（1）CF=2；（2）详见解析

【解析】

（1）先证明△ABD是等边三角形，再根据旋转的性质得到△CBD是等边三角形，根据等腰三角形的三线合一的性质即可得到CF的长；

（2）过点E作EM∥BC，交CD于点M，利用平行线的性质及等腰三角形的性质得到DE=EM=CF，由此证明△EMG≌△FCG，再利用角平分线的性质即可得到结论.

（1）解：∵AD=BD，∠A=60°

∴△ABD是等边三角形

∴∠ADB=60°，BD =4

由旋转性质知，得△ABD≌△CDB

∴△CBD是等边三角形

且CE平分∠BCD

∴BE=DE=2

∵CF=DE

∴CF=2

(2)过点E作EM∥BC，交CD于点M，

∴∠DME=∠DCB, ∠MEG=∠F, ∠ECB=∠MEC，

∵BD=CB，

∴∠BDC=∠BCD=∠DME，

∴DE=EM=CF，

在△EMG和△FCG中

，

∴△EMG≌△FCG，

∴MG=CG，

∵CE平分∠BCD，

∴∠ECB=∠ECM=∠MEC，

∴EM=MC=2CG，

∴DE=2GC.