Question

【题目】如图，△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC，点O是边AB上一点，以点O为圆心，以OB为半径作圆，⊙O恰好经过点D．

（1）求证：直线AC是⊙O的切线；

（2）若∠A=30°，⊙O的半径是2，求线段CD的长．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）CD=

【解析】

（1）连接DO，根据圆的性质及角平分线的性质得到OD∥BC，再利用平行线的性质得到∠ODA=∠C=90°，即可得到结论；

（2）先根据∠A=30°求出OA得到AB及BC，再设DC=x,则DB=2x，利用勾股定理求出CD的长.

（1）证明：连接DO，

∵BD平分∠ABC，

∴∠DBC=∠DBA，

∵OD=OB，

∴∠ODB=∠DBA，

∴∠ODB=∠DBC，

∴OD∥BC，

∴∠ODA=∠C=90°，

∴直线AC是⊙O的切线；

（2）在Rt△ADO中，∠A=30°，

∴AO=2DO=4

∴AB=4+2=6

∴BC=3

在Rt△BCD中，

∠ABC=90°-30°=60°

∴∠DBC=∠DBA=30°

设DC=x,则DB=2x

x2+9=4 x2，解之得，x =

∴CD=.