Question

【题目】已知：AB是⊙O的直径，点P在线段AB的延长线上，BP=OB=2，点Q在⊙O上，连接PQ．
（1）如图①，线段PQ所在的直线与⊙O相切，求线段PQ的长

（2）如图②，线段PQ与⊙O还有一个公共点C，且PC=CQ，连接OQ，AC交于点D．
①判断OQ与AC的位置关系，并说明理由；
②求线段PQ的长．

Answer 1

【答案】
（1）

解：（1）如图①，连接OQ．

∵线段PQ所在的直线与⊙O相切，点Q在⊙O上，

∴OQ⊥OP．

又∵BP=OB=OQ=2，

∴PQ===，即PQ=.

（2）

解：OQ⊥AC．理由如下：

如图②，连接BC．

∵BP=OB，

∴点B是OP的中点，

又∵PC=CQ，

∴点C是PQ的中点，

∴BC是△PQO的中位线，

∴BC∥OQ．

又∵AB是直径，

∴∠ACB=90°，即BC⊥AC，

∴OQ⊥AC．

如图②，PCPQ=PBPA，即PQ2=2×6，

解得PQ=．

【解析】（1）如图①，连接OQ．利用切线的性质和勾股定理来求PQ的长度．
（2）如图②，连接BC．利用三角形中位线的判定与性质得到BC∥OQ．根据圆周角定理推知BC⊥AC，所以，OQ⊥AC．
（3）利用割线定理来求PQ的长度即可．