【题目】已知:在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC.
(1)如图1,将线段AC绕点A逆时针旋转60°得到AD,连结CD、BD,∠BAC的平分线交BD于点E,连结CE.
①求证:∠AED=∠CED;
②用等式表示线段AE、CE、BD之间的数量关系(直接写出结果);
(2)在图2中,若将线段AC绕点A顺时针旋转60°得到AD,连结CD、BD,∠BAC的平分线交BD的延长线于点E,连结CE.请补全图形,并用等式表示线段AE、CE、BD之间的数量关系,并证明.
【答案】(1)①证明见解析;②BD=2CE+AE,理由见解析;(2)补图见解析,2CE﹣AE=BD,证明见解析.
【解析】
(1)①由旋转的性质可得AC=AD,∠DAC=60°,由”SAS”可证△ABE≌ACE,可得∠3=∠4=15°,由三角形外角的性质可得结论;②过点A作AH⊥BD于点H,由等腰三角形的性质和直角三角形性质可得BD=2BH=2(BE+EH)=2BE+AE=2EC+AE;
(2)以A为顶点,AE为一边作∠EAF=60°,AF交DB延长线于点F,通过证明△CAE≌△DAF和△BAE≌△CAE,可得CE=DF,BE=CE,即可得2CE-AE=BD.
证明:(1)
①∵将线段AC绕点A逆时针旋转60°得到AD,
∴AC=AD,∠DAC=60°
∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=150°,且AB=AC=AD
∴∠3=∠5=15°
∵∠BAC=90°,AB=AC,AE平分∠BAC
∴∠1=∠2=45°,∠ABC=∠ACB=45°
又∵AE=AE,
∴△ABE≌△ACE(SAS)
∴∠3=∠4=15°
∴∠6=∠7=30°
∴∠DEC=∠6+∠7=60°
∵∠AED=∠3+∠1=60°
∴∠AED=∠CED
②BD=2CE+AE
理由如下:
过点A作AH⊥BD于点H,
∵∠EBC=∠ECB
∴BE=CE,
∵∠AED=60°,AH⊥BD
∴AE=2EH
∵AB=AD,AH⊥BD
∴BD=2BH=2(BE+EH)=2BE+AE=2EC+AE
(2)补全图形如图,
2CE﹣AE=BD
理由如下:
如图2,以A为顶点,AE为一边作∠EAF=60°,AF交DB延长线于点F.
∵∠BAC=90°,AB=AC,AE平分∠BAC
∴∠BAE=∠CAE=45°,∠ABC=∠ACB=45°.
∵将线段AC绕点A逆时针旋转60°得到AD,
∴AC=AD,∠DAC=60°
∴∠DAE=∠DAC﹣∠CAE=15°,AB=AD
∴∠ABD=∠ADB,∠BAD=30°
∴∠ABD=∠ADB=75°
∴∠AED=∠ADB﹣∠DAE=60°
∵∠EAF=60°
又∵∠EAF=60°,
∴∠F=60°
∴△AEF是等边三角形.
∴AE=AF=EF.
∵AC=AD,∠CAE=∠DAF=45°,AE=AF,
∴△CAE≌△DAF(SAS).
∴CE=DF.
∵AB=AC,∠BAE=∠CAE=45°,AE=AE,
∴△BAE≌△CAE(SAS).
∴BE=CE.
∴BE=CE.
∵DF+BE﹣EF=BD,
∴2CE﹣AE=BD
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【题目】“一般的,如果二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个公共点,那么一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根.——苏科版《数学》九年级(下册)P21”参考上述教材中的话,判断方程x2﹣2x=﹣2实数根的情况是 ( )
A. 有三个实数根 B. 有两个实数根 C. 有一个实数根 D. 无实数根
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【题目】在学习了矩形后,数学活动小组开展了探究活动.如图1,在矩形中,,,点在上,先以为折痕将点往右折,如图2所示,再过点作,垂足为,如图3所示.
(1)在图3中,若,则的度数为______,的长度为______.
(2)在(1)的条件下,求的长.
(3)在图3中,若,则______.
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【题目】已知:如图,在△ABC中,∠ACB=90°,以BC为直径的⊙O交AB于点D,E为的中点.
(1)求证:∠ACD=∠DEC;(2)延长DE、CB交于点P,若PB=BO,DE=2,求PE的长
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【题目】如图,反比例函数的图象与一次函数y=x+b的图象交于A,B两点,点A和点B的横坐标分别为1和﹣2,这两点的纵坐标之和为1.
(1)求反比例函数的表达式与一次函数的表达式;
(2)当点C的坐标为(0,﹣1)时,求△ABC的面积.
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【题目】如图1,内接于,AD是直径,的平分线交BD于H,交于点C,连接DC并延长,交AB的延长线于点E.
(1)求证:;
(2)若,求的值
(3)如图2,连接CB并延长,交DA的延长线于点F,若,求的面积.
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【题目】如图1为放置在水平桌面l上的台灯,底座的高AB为5cm,长度均为20cm的连杆BC、CD与AB始终在同一平面上.
(1)转动连杆BC,CD,使∠BCD成平角,∠ABC=150°,如图2,求连杆端点D离桌面l的高度DE.
(2)将(1)中的连杆CD再绕点C逆时针旋转,经试验后发现,如图3,当∠BCD=150°时台灯光线最佳.求此时连杆端点D离桌面l的高度比原来降低了多少厘米?
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