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【题目】已知:在ABC中,∠BAC90°ABAC

1)如图1,将线段AC绕点A逆时针旋转60°得到AD,连结CDBD,∠BAC的平分线交BD于点E,连结CE

①求证:∠AED=∠CED

②用等式表示线段AECEBD之间的数量关系(直接写出结果);

2)在图2中,若将线段AC绕点A顺时针旋转60°得到AD,连结CDBD,∠BAC的平分线交BD的延长线于点E,连结CE.请补全图形,并用等式表示线段AECEBD之间的数量关系,并证明.

【答案】(1)①证明见解析;②BD2CE+AE,理由见解析;(2)补图见解析,2CEAEBD,证明见解析.

【解析】

(1)①由旋转的性质可得AC=AD,DAC=60°,”SAS”可证△ABEACE,可得∠3=4=15°,由三角形外角的性质可得结论;②过点AAHBD于点H,由等腰三角形的性质和直角三角形性质可得BD=2BH=2(BE+EH)=2BE+AE=2EC+AE;

(2)A为顶点,AE为一边作∠EAF=60°,AFDB延长线于点F,通过证明△CAE≌△DAF和△BAE≌△CAE,可得CE=DF,BE=CE,即可得2CE-AE=BD.

证明:(1

①∵将线段AC绕点A逆时针旋转60°得到AD

ACAD,∠DAC60°

∴∠BAD=∠BAC+CAD150°,且ABACAD

∴∠3=∠515°

∵∠BAC90°ABACAE平分∠BAC

∴∠1=∠245°,∠ABC=∠ACB45°

又∵AEAE

∴△ABE≌△ACESAS

∴∠3=∠415°

∴∠6=∠730°

∴∠DEC=∠6+760°

∵∠AED=∠3+160°

∴∠AED=∠CED

BD2CE+AE

理由如下:

过点AAHBD于点H

∵∠EBC=∠ECB

BECE

∵∠AED60°AHBD

AE2EH

ABADAHBD

BD2BH2BE+EH)=2BE+AE2EC+AE

2)补全图形如图,

2CEAEBD

理由如下:

如图2,以A为顶点,AE为一边作∠EAF60°AFDB延长线于点F

∵∠BAC90°ABACAE平分∠BAC

∴∠BAE=∠CAE45°,∠ABC=∠ACB45°

∵将线段AC绕点A逆时针旋转60°得到AD

ACAD,∠DAC60°

∴∠DAE=∠DAC﹣∠CAE15°ABAD

∴∠ABD=∠ADB,∠BAD30°

∴∠ABD=∠ADB75°

∴∠AED=∠ADB﹣∠DAE60°

∵∠EAF60°

又∵∠EAF60°

∴∠F60°

∴△AEF是等边三角形.

AEAFEF

ACAD,∠CAE=∠DAF45°AEAF

∴△CAE≌△DAFSAS).

CEDF

ABAC,∠BAE=∠CAE45°AEAE

∴△BAE≌△CAESAS).

BECE

BECE

DF+BEEFBD

2CEAEBD

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