Question

【题目】如图，矩形中，对角线，交于点，以，为邻边作平行四边形，连接．

（1）求证：四边形是菱形；

（2）若，，求四边形的面积．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】

（1）先证明四边形AOBE是平行四边形，再证明AB⊥OE即可；

（2）根据∠EAO+∠DCO=180°，以及矩形性质可求得∠EAO=120°，求出△AEO面积，利用四边形ADOE的面积等于△AEO面积的2倍即可求解．

（1）∵四边形ABCD是矩形，

∴DO=BO．

∵四边形ADOE是平行四边形，

∴AE∥DO，AE=DO，AD∥OE．

∴AE∥BO，AE=BO，

∴四边形AOBE是平行四边形．

∵AD⊥AB，AD∥OE，

∴AB⊥OE．

∴四边形AOBE是菱形；

（2）设AB与EO交点为M．

∵AB∥CD，

∴∠DCO=∠BAO．

∵四边形AOBE是菱形，

∴∠EAO=2∠BAO．

∵∠EAO+∠DCO=180°，

∴∠EAO=120°，∠EAM=60°．

又AM=AB=，

∴BM=，

∴MO=，

∴EO=

∴△AEO面积为：，

∴四边形ADOE面积=