Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O与坐标原点重合，点C的坐标为（0，3），点A在x轴的正半轴上，直线y＝x﹣1交边AB、OA于点D、M，反比例函数的图象经过点D，与BC的交点为N．

（1）求BN的长．

（2）点P是直线DM上的动点（点P不与点D、点M重合），连接PB、PC、MN，当△BCP的面积等于四边形ABNM的面积时，求点P的坐标．

（3）在（2）的条件下，连接CP，以CP为边作矩形CPEF，使矩形的对角线的交点G落在直线DM上，请写出点G的坐标．

Answer 1

【答案】（1）1 （2）（7，6） （3）（，）

【解析】

（1）由正方形的性质可得出点A，B的坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征可得出点D的坐标，由点D的坐标，利用待定系数法可求出反比例函数解析式，再利用反比例函数图象上点的坐标特征可得出点N的坐标，结合点B的坐标可求出BN的长；

（2）利用一次函数图象上点的坐标特征可得出点M的坐标，利用梯形的面积公式可求出梯形ABNM的面积，设点P的坐标为（x，x-1）（x≠1，x≠3），利用三角形的面积公式结合△BCP的面积等于梯形ABNM的面积，即可得出关于x的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论；

（3）过点C作CF⊥CP，交DM于点F，设点F的坐标为（n，n-1），结合点C，P的坐标，利用两点间的距离公式可求出的值，利用勾股定理可得出关于n的一元一次方程，解之即可得出点F的坐标，再结合点G为线段PF的中点，即可求出点G的坐标．

解：（1） 正方形OABC

点A的坐标为（3，0），点B的坐标为（3，3）．

当x＝3时，y＝x﹣1＝2，

∴点D的坐标为（3，2）．

将D（3，2）代入，得：，解得：m＝6，

∴反比例函数解析式为．

当y＝3时，，解得：x＝2，

∴点N的坐标为（2，3），

∴BN＝3﹣2＝1．

（2）当y＝0时，x﹣1＝0，解得：x＝1，

∴点M的坐标为（1，0），

∴AM＝2，

梯形AMNB．

如图1，设点P的坐标为（x，x﹣1）（x≠1，x≠3），

,

解得：（舍去），，

∴点P的坐标为（7，6）．

（3）过点C作CF⊥CP，交DM于点F，

如图2所示．设点F的坐标为（n，n﹣1）．

∵点C的坐标为（0，3），点P的坐标为（7，6），

∴

∵∠PCF＝90°，

∴，

即

解得：，

∴点F的坐标为（）．

又∵点G为矩形对角线的交点，

G为线段PF的中点，

∴点G的坐标为（）．