Question

【题目】如图1，P是平面直角坐标系中第一象限内一点，过点P作PA⊥x轴于点A，以AP为边在右侧作等边△APQ，已知点Q的纵坐标为2，连结OQ交AP于B，BQ＝3OB．

(1)求点P的坐标；

(2)如图2，若过点P的双曲线(k＞0)与过点Q垂直于x轴的直线交于D，连接PD．求．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）过点Q作x轴的垂线N，根据△APQ是等边三角形及PA⊥x轴得出∠QAN=90°-60°=30°，因为点Q的纵坐标是2，根据解直角三角形可求出AQ与AN的值，根据△AOB∽△ONQ和BQ＝3OB可得OA的值，继而可得点P坐标；

（2）设DQ的延长线与过点P平行于x轴的直线交于点E，将P(,4)代入可得双曲线解析式，由（1）得D点横坐标，代入解析式即可求出D的纵坐标，即DN的长，从而得到DE的长，在Rt△PED中，PE=AN，=，将值代入即可求解．

解：（1）过点Q作x轴的垂线N

∵△APQ是等边三角形

∴∠PAQ=60°

∵PA⊥x轴

∴∠QAN=90°-60°=30°

∵点Q的纵坐标是2

∴QN=2

∴

AN===

∴点P纵坐标为4

∵PA⊥x轴，QN⊥x轴

∴△AOB∽△ONQ

∴

∵BQ＝3OB

∴==3

∴OA=

∴P点坐标为(,4)．

故答案为(,4)．

（2）设DQ的延长线与过点P平行于x轴的直线交于点E

将P(,4)代入，得

解得k=

∴双曲线解析式为

由（1）知N点横坐标为+=

即D点横坐标为

∴D点纵坐标为

∴DN=1

∴DQ=QN-DN=2-1=1

∴DE=4-1=3

在Rt△PED中，PE=AN=

∴==．

故答案为．