Question

5．如图，已知直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，OA=10，OA与⊙O相交于点P，AB与⊙O相切于点B，BP的延长线交直线l于点C．若⊙O上存在点Q，使△QAC是以AC为底边的等腰三角形，则半径r的取值范围是：2$\sqrt{5}$≤r＜10．

Answer 1

分析 首先证明AB=AC，再根据已知得出Q在AC的垂直平分线上，作出线段AC的垂直平分线MN，作OE⊥MN，求出OE＜r，求出r范围即可．

解答 解：连接OB．如图1，
∵AB切⊙O于B，OA⊥AC，
∴∠OBA=∠OAC=90°，
∴∠OBP+∠ABP=90°，∠ACP+∠APC=90°，
∵OP=OB，
∴∠OBP=∠OPB，
∵∠OPB=∠APC，
∴∠ACP=∠ABC，
∴AB=AC，
作出线段AC的垂直平分线MN，作OE⊥MN，如图2，
∴OE=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$$\sqrt{{10}^{2}-{r}^{2}}$，
又∵圆O与直线MN有交点，
∴OE=$\frac{1}{2}$$\sqrt{{10}^{2}-{r}^{2}}$≤r，
∴$\sqrt{{10}^{2}-{r}^{2}}$≤2r，
即：100-r²≤4r²，
∴r²≥20，
∴r≥2$\sqrt{5}$．
∵OA=10，直线l与⊙O相离，
∴r＜10，
∴2$\sqrt{5}$≤r＜10．
故答案为：2$\sqrt{5}$≤r＜10．

点评 本题考查了等腰三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，切线的性质，勾股定理，直线与圆的位置关系等知识点的应用，主要培养学生运用性质进行推理和计算的能力．本题综合性比较强，有一定的难度．