Question

12．如图，在Rt△ABO中，∠B=90°，∠A=30°，OB=2，现将Rt△ABO在坐标平面内绕原点O按顺时针方向旋转到△OA′B′的位置．求：
（1）点B′的坐标；
（2）顶点A从开始到点A′结束经过的路径长；
（3）扇形AOA′的面积．

Answer 1

分析 （1）作B′C⊥x轴于C，如图，根据旋转的性质得∠A′OB′=∠AOB=60°，OB′=OB=2，然后在Rt△OB′C中，利用含30度的直角三角形三边的关系求出OC，B′C，则可得到点B′的坐标；
（2）先计算OA的长和∠AOA′的度数，然后根据弧长公式计算；
（3）根据扇形面积公式计算．

解答 解：（1）作B′C⊥x轴于C，如图，在Rt△ABO中，
∵∠B=90°，∠A=30°，OB=2，
∴∠AOB=60°，
∵Rt△ABO绕原点O按顺时针方向旋转到△OA′B′，
∴∠A′OB′=∠AOB=60°，OB′=OB=2，
在Rt△OB′C中，∵∠OB′C=30°，
∴OC=$\frac{1}{2}$OB′=1，B′C=$\sqrt{3}$OC=$\sqrt{3}$，
∴点B′的坐标为（1，$\sqrt{3}$）；
（2）∵∠B=90°，∠A=30°，OB=2，
∴OA=2OB=4，
∵∠AOA′=120°，
∴顶点A从开始到点A′结束经过的路径长=$\frac{120•π•4}{180}$=$\frac{8}{3}$π；
（3）扇形AOA′的面积=$\frac{1}{2}$•$\frac{8}{3}$π•4=$\frac{16}{3}$π．

点评 本题考查了坐标与图形变化-旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．